Aproxime a soma da série pela soma parcial e estime o erro na aproximação.
(a)
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver o exercício que pede para aproximar a soma da série alternada usando a soma parcial e também estimar o erro dessa aproximação. A matéria envolvida aqui são as séries alternadas, e vamos precisar entender como calcular somas parciais e usar o teorema de estimação de erro para séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente, como positivo, negativo, positivo, etc. No nosso caso, a série é , onde o fator faz os sinais alternarem.
Passo 3
Para aproximar a soma da série usando a soma parcial , vamos calcular os primeiros 4 termos da série e somá-los. Vamos fazer isso passo a passo:
Simplificando cada termo:
Calculando cada fração:
Passo 4
Agora, vamos estimar o erro dessa aproximação. Para séries alternadas que satisfazem determinadas condições (como termos decrescentes em módulo e tendendo a zero), o erro na aproximação usando é menor ou igual ao valor absoluto do próximo termo da série, ou seja, .
No nosso caso, como usamos , o próximo termo é :
Isso significa que o erro na nossa aproximação S4 é no máximo aproximadamente 0,000823.
Resposta
A soma parcial S4 é aproximadamente 0,2869 e o erro na aproximação é menor que 0,000823.