2.3. SÉRIES ALTERNADAS

  1. Aproxime a soma da série pela soma parcial S4 e estime o erro na aproximação.
    (a) sumn=1^infty (-1)^n+1n 3^n

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver o exercício que pede para aproximar a soma da série alternada sumn=1^infty (-1)^n+1n 3^n usando a soma parcial S4 e também estimar o erro dessa aproximação. A matéria envolvida aqui são as séries alternadas, e vamos precisar entender como calcular somas parciais e usar o teorema de estimação de erro para séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente, como positivo, negativo, positivo, etc. No nosso caso, a série é sumn=1^infty (-1)^n+1n 3^n, onde o fator (-1)^n+1 faz os sinais alternarem.

Passo 3

Para aproximar a soma da série usando a soma parcial S4, vamos calcular os primeiros 4 termos da série e somá-los. Vamos fazer isso passo a passo:
S4 = (-1)^1+11 cdot 3^1 + (-1)^2+12 cdot 3^2 + (-1)^3+13 cdot 3^3 + (-1)^4+14 cdot 3^4
Simplificando cada termo:
S4 = 13 - 118 + 181 - 1324
Calculando cada fração:
S4 approx 0,3333 - 0,0556 + 0,0123 - 0,0031 approx 0,2869

Passo 4

Agora, vamos estimar o erro dessa aproximação. Para séries alternadas que satisfazem determinadas condições (como termos decrescentes em módulo e tendendo a zero), o erro na aproximação usando Sn é menor ou igual ao valor absoluto do próximo termo da série, ou seja, |an+1|.
No nosso caso, como usamos S4, o próximo termo é a5:
|a5| = | (-1)^5+15 cdot 3^5 | = 15 cdot 243 = 11215 approx 0,000823
Isso significa que o erro na nossa aproximação S4 é no máximo aproximadamente 0,000823.

Resposta

A soma parcial S4 é aproximadamente 0,2869 e o erro na aproximação é menor que 0,000823.

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