Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor assimilar a teoria.
(b) Se sumn=1^infty an converge absolutamente, então sumn=1^infty an^2 /(1+an^2) converge.

Passo 1

O enunciado diz que se a série sumn=1^inftyan converge absolutamente, então a série sumn=1^inftyan^21+an^2 converge. O conteúdo envolve séries numéricas, convergência absoluta e teste da comparação.

Passo 2

Como sum|an|, temos que anto0. Logo, existe um N tal que, para n>= N, |an|<=1. Para esses n vale
|an|<=1Longrightarrow an^2<=|an|
Dividindo a série sum an^2 em duas partes (os N-1 primeiros termos e o restante), vemos que a soma dos quadrados também converge, pois a parte de índice n>= N é dominada por sumn=N^infty|an|, que converge.

Passo 3

Agora observe que para todo n
0<=an^21+an^2<= an^2
Como já mostramos que sum an^2 converge, o teste da comparação direta garante que
$$
\sum_{n=1}{\infty}\frac{a_n2}{1+a_n^2}\n$$
também converge.

Passo 4

Portanto, a afirmação é verdadeira, já que usamos a convergência absoluta para controlar an^2 e depois compará-la com an^2/(1+an^2).

Resposta

Verdadeiro

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