Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor assimilar a teoria.
(b) Se
converge absolutamente, então
converge.
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que se a série
converge absolutamente, então a série
converge. O conteúdo envolve séries numéricas, convergência absoluta e teste da comparação.
Passo 2
Como
, temos que
. Logo, existe um
tal que, para
,
. Para esses
vale
Dividindo a série
em duas partes (os
primeiros termos e o restante), vemos que a soma dos quadrados também converge, pois a parte de índice
é dominada por
, que converge.
Passo 3
Agora observe que para todo
Como já mostramos que
converge, o teste da comparação direta garante que
$$
\sum_{n=1}{\infty}\frac{a_n2}{1+a_n^2}\n$$
também converge.
também converge.
Passo 4
Portanto, a afirmação é verdadeira, já que usamos a convergência absoluta para controlar
e depois compará-la com
.
Resposta
Verdadeiro