Encontre a derivada da função.
8) h(x)=(2 x^2+13 x^3+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=l(2x^2+13x^3+1r)^2. O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia junto com a regra do quociente para derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos chamar u(x)=2x^2+13x^3+1 e considerar h(x)=l(u(x)r)^2. Pela regra da cadeia, a derivada é dada por h'(x)=2,u(x)cdot u'(x).
Para encontrar u'(x) usamos a regra do quociente: se u(x)=N(x)D(x), então
u'(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)l(D(x)r)^2
Aqui N(x)=2x^2+1 e D(x)=3x^3+1. Logo
N'(x)=4x, D'(x)=9x^2

Passo 3

Substituindo em u'(x):
u'(x)=4x(3x^3+1)-(2x^2+1),9x^2(3x^3+1)^2 =12x^4+4x-18x^4-9x^2(3x^3+1)^2 =-6x^4-9x^2+4x(3x^3+1)^2

Passo 4

Agora voltamos a h'(x)=2,u(x)cdot u'(x) e substituímos u(x) e u'(x):
$$h’(x)=2\cdot\frac{2x2+1}{3x3+1}\cdot\frac{-6x4-9x2+4x}{(3x3+1)2}
=\frac{2(2x2+1)(-6x4-9x2+4x)}{(3x3+1)^3}$$

Resposta

h'(x)=2(2x^2+1)(-6x^4-9x^2+4x)(3x^3+1)^3

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