Resolva as equações diferenciais
a) y^prime prime+9 y=2 cos 3 x ; y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
y'' + 9y = 2 cos 3x
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes e termos forçados. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + 9y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é dada por:
r^2 + 9 = 0
Resolvendo para $ r $:
r
r^2 = -9
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
r = pm 3i
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Observamos que o termo forçado $ 2 \cos 3x $ já está presente na solução homogênea. Isso significa que temos um caso de ressonância, então precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por $ x $.

Passo 5

Vamos supor que a solução particular seja:
yp(x) = x (C cos 3x + D sin 3x)
Onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem determinadas. Vamos calcular as derivadas de $ y_p $ para substituir na equação original.

Passo 6

Calculando as derivadas:
yp'(x) = C cos 3x + D sin 3x + x (-3C sin 3x + 3D cos 3x)
yp''(x) = -3C sin 3x + 3D cos 3x - 3C sin 3x + 3D cos 3x + x (-9C cos 3x - 9D sin 3x)
Simplificando:
yp''(x) = -6C sin 3x + 6D cos 3x - 9x (C cos 3x + D sin 3x)

Passo 7

Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp
Observe que os termos com $ x $ se cancelam, ficando:
yp''

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de $ \sin 3x $ e $ \cos 3x $:
sin 3x
cos 3x
Então, a solução particular é:
-6C = 0 Rightarrow C = 0

Passo 9

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(x) = yh(x) + yp(x) = A cos 3x + B sin 3x + 13 x sin 3x

Passo 10

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Primeiro, $ y(0) = 0 $:
A
Então, $ A = 0 $.
Segundo, vamos calcular $ y’(x) $ e aplicar $ y’(0) = 2 $:
B
Como $ A = 0 $:
y(0) = 0
Aplicando $ x = 0 $:
y(0) = A cos 0 + B sin 0 + 13 cdot 0 cdot sin 0 = A = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 23 sin 3x + 13 x sin 3x

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