Resolva as equações diferenciais
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes e termos forçados. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é dada por:
Resolvendo para $ r $:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos achar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Observamos que o termo forçado $ 2 \cos 3x $ já está presente na solução homogênea. Isso significa que temos um caso de ressonância, então precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por $ x $.
Passo 5
Vamos supor que a solução particular seja:
Onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem determinadas. Vamos calcular as derivadas de $ y_p $ para substituir na equação original.
Passo 6
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 7
Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Observe que os termos com $ x $ se cancelam, ficando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de $ \sin 3x $ e $ \cos 3x $:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Passo 10
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Primeiro, $ y(0) = 0 $:
Então, $ A = 0 $.
Segundo, vamos calcular $ y’(x) $ e aplicar $ y’(0) = 2 $:
Como $ A = 0 $:
Aplicando $ x = 0 $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: