Identifique e esboce a superfície quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a superfície cuja equação é
Pede-se: identificar que tipo de superfície quádrica é e esboçá‑la. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
, e por um polinômio de segundo grau em e e de grau 1 em . - Não há termos mistos
nem termos lineares em , ou . - O objetivo é classificar a superfície (nome geométrico) e indicar como desenhá‑la (traços e forma).
Passo 2
Primeiro, isolo
para ver a forma mais clara:
Explicando passo a passo o que significa cada parte dessa expressão:
- O termo
é uma parábola em que abre para quando é fixo. - O termo
é uma parábola em que abre para quando é fixo.
Como os coeficientes dee têm sinais opostos, isso já dá pista de que a superfície tem um comportamento de “selim” (curvaturas com sinais opostos): trata‑se de um paraboloide hiperbólico (também chamado de sela).
Passo 3
Vou justificar a classificação com a ideia das seções (traços), que é a técnica mais prática para identificar e esboçar uma superfície:
- Traços horizontais (planos
). Para um valor constante ,
Esta é a equação de uma hipérbole quando
, e quando
temos
ou seja, duas retas. Conclusão: fatias horizontais são hipérboles (ou par de retas no nível zero).
- Traços verticais nas direções dos eixos:
- Plano
: substituindo na equação,
que é uma parábola em abrindo para cima (em positivo). - Plano
: substituindo,
que é uma parábola em abrindo para baixo (em negativo).
Essas observações confirmam a forma de sela: numa direção (eixo) a superfície curva para cima; na outra (eixo ) curva para baixo. - Plano
Passo 4
Interpretação geométrica das seções horizontais em termos de orientação:
- Para
temos . Isso é uma hipérbole cujas fendas estão alinhadas na direção (ou seja, abre mais para valores grandes de ). - Para
escrevendo fica claro que a hipérbole abre na direção . - No nível
(plano ) a interseção é , que são as retas assintóticas das hipérboles das fatias horizontais.
Passo 5
Resumo das características que ajudam no esboço:
- Vértice / ponto crítico: a origem
é o ponto de sela. - Curvatura oposta nas direções
e : curva para cima ao longo da reta , curva para baixo ao longo da reta . - Curvas de nível (projeção no plano
) são hipérboles com assíntotas . - Eixos principais da superfície coincidem com os eixos coordenados
e (não há rotação).
Passo 6
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar no papel):
- Desenhe os eixos
, (plano horizontal) e (vertical). Marque a origem O. - Trace as duas parábolas de referência:
- No plano
desenhe : uma parábola aberta para cima passando por O. - No plano
desenhe : uma parábola aberta para baixo passando por O.
- No plano
- No plano
desenhe as retas (essas são as assíntotas das hipérboles horizontais). - Para alguns níveis
positivos e negativos, esboce as hipérboles (para hipérboles “verticais” com ramos ao longo de ; para hipérboles “horizontais” com ramos ao longo de ). - Conecte suavemente as curvas mostrando que a superfície sobe ao longo do eixo
e desce ao longo do eixo , formando a típica forma de sela (paraboloide hiperbólico). Coloque setas indicando que para grande e pequeno fica grande e positivo, e para grande e pequeno fica grande e negativo.
Passo 7
Observações finais e intuição:
- A constante
apenas escala a “abertura” das parábolas e hipérboles; a forma qualitativa (sela) não muda. - Em problemas similares, olhar para os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos em
e e fazer fatias em , e const costuma ser a forma mais rápida e segura de identificar e desenhar a superfície. - Força um pouco a mão no esboço: esqueça detalhes numéricos, mostre as parábolas principais e algumas hipérboles de nível e fica bom o suficiente para a prova.
Resposta
Paraboloide hiperbólico (superfície em sela) dada por
; vértice em
; traços: em
tem
(parábola para cima), em
tem
(parábola para baixo), e curvas de nível
são hipérboles (com assíntotas
).