Identifique e esboce a superfície quádrica.
16 z=y^{2}-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície cuja equação é
16z = y^{2} - x^{2}.
Pede-se: identificar que tipo de superfície quádrica é e esboçá‑la. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona x, y e z por um polinômio de segundo grau em x e y e de grau 1 em z.
  • Não há termos mistos xy nem termos lineares em x, y ou z.
  • O objetivo é classificar a superfície (nome geométrico) e indicar como desenhá‑la (traços e forma).

Passo 2

Primeiro, isolo z para ver a forma mais clara:
z=\frac{1}{16}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr).
Explicando passo a passo o que significa cada parte dessa expressão:
  • O termo \dfrac{1}{16}y^{2} é uma parábola em y que abre para z>0 quando x é fixo.
  • O termo -\dfrac{1}{16}x^{2} é uma parábola em x que abre para z<0 quando y é fixo.
    Como os coeficientes de y^{2} e x^{2} têm sinais opostos, isso já dá pista de que a superfície tem um comportamento de “selim” (curvaturas com sinais opostos): trata‑se de um paraboloide hiperbólico (também chamado de sela).

Passo 3

Vou justificar a classificação com a ideia das seções (traços), que é a técnica mais prática para identificar e esboçar uma superfície:
  • Traços horizontais (planos z=c). Para um valor constante c,
y^{2}-x^{2}=16c.
Esta é a equação de uma hipérbole quando c\neq 0, e quando c=0 temos
y^{2}-x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y=\pm x,
ou seja, duas retas. Conclusão: fatias horizontais são hipérboles (ou par de retas no nível zero).
  • Traços verticais nas direções dos eixos:
    • Plano x=0: substituindo na equação,
    z=\frac{1}{16}y^{2},que é uma parábola em y abrindo para cima (em z positivo).
    • Plano y=0: substituindo,
    z=-\frac{1}{16}x^{2},que é uma parábola em x abrindo para baixo (em z negativo).
    Essas observações confirmam a forma de sela: numa direção (eixo y) a superfície curva para cima; na outra (eixo x) curva para baixo.

Passo 4

Interpretação geométrica das seções horizontais em termos de orientação:
  • Para c>0 temos y^{2}-x^{2}=16c. Isso é uma hipérbole cujas fendas estão alinhadas na direção y (ou seja, abre mais para valores grandes de |y|).
  • Para c<0 escrevendo x^{2}-y^{2}=16|c| fica claro que a hipérbole abre na direção x.
  • No nível c=0 (plano z=0) a interseção é y=\pm x, que são as retas assintóticas das hipérboles das fatias horizontais.

Passo 5

Resumo das características que ajudam no esboço:
  • Vértice / ponto crítico: a origem (0,0,0) é o ponto de sela.
  • Curvatura oposta nas direções x e y: curva para cima ao longo da reta x=0, curva para baixo ao longo da reta y=0.
  • Curvas de nível (projeção no plano xy) são hipérboles com assíntotas y=\pm x.
  • Eixos principais da superfície coincidem com os eixos coordenados x e y (não há rotação).

Passo 6

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar no papel):
  1. Desenhe os eixos x, y (plano horizontal) e z (vertical). Marque a origem O.
  2. Trace as duas parábolas de referência:
    • No plano x=0 desenhe z=\tfrac{1}{16}y^{2}: uma parábola aberta para cima passando por O.
    • No plano y=0 desenhe z=-\tfrac{1}{16}x^{2}: uma parábola aberta para baixo passando por O.
  3. No plano z=0 desenhe as retas y=\pm x (essas são as assíntotas das hipérboles horizontais).
  4. Para alguns níveis z=c positivos e negativos, esboce as hipérboles y^{2}-x^{2}=16c (para c>0 hipérboles “verticais” com ramos ao longo de y; para c<0 hipérboles “horizontais” com ramos ao longo de x).
  5. Conecte suavemente as curvas mostrando que a superfície sobe ao longo do eixo y e desce ao longo do eixo x, formando a típica forma de sela (paraboloide hiperbólico). Coloque setas indicando que para |y| grande e x pequeno z fica grande e positivo, e para |x| grande e y pequeno z fica grande e negativo.

Passo 7

Observações finais e intuição:
  • A constante \tfrac{1}{16} apenas escala a “abertura” das parábolas e hipérboles; a forma qualitativa (sela) não muda.
  • Em problemas similares, olhar para os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos em x e y e fazer fatias em x=0, y=0 e z=const costuma ser a forma mais rápida e segura de identificar e desenhar a superfície.
  • Força um pouco a mão no esboço: esqueça detalhes numéricos, mostre as parábolas principais e algumas hipérboles de nível e fica bom o suficiente para a prova.

Resposta

Paraboloide hiperbólico (superfície em sela) dada por z=\dfrac{1}{16}(y^{2}-x^{2}); vértice em (0,0,0); traços: em x=0 tem z=\dfrac{1}{16}y^{2} (parábola para cima), em y=0 tem z=-\dfrac{1}{16}x^{2} (parábola para baixo), e curvas de nível y^{2}-x^{2}=16c são hipérboles (com assíntotas y=\pm x).

Exercícios relacionados