Identifique e esboce a superfície quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
O que se pede:
- Identificar qual é a superfície quádrica descrita por essa equação.
- Esboçar visualmente (dar uma descrição de como desenhar) essa superfície.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
- A equação está em forma implícita quadrática em
. - Os coeficientes das parcelas quadráticas são: coeficiente de
positivo igual a , coeficiente de negativo igual a , coeficiente de negativo igual a . - O termo independente (lado direito) é
.
Passo 2
Interpretação direta da forma da equação (sem transformar!): a equação já está diagonal (sem termos mistos
), então basta olhar os sinais dos coeficientes das quadráticas para identificar o tipo geométrico.
Explicação didática do critério que vamos usar (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento prévio):
- Em uma equação quadrática diagonal do tipo
o número de coeficientes positivos e negativos determina a topologia da superfície: - Se dois coeficientes positivos e um negativo, obtém-se um hipérboloide de uma folha (superfície conectada).
- Se um coeficiente positivo e dois negativos (como aqui), obtém-se um hipérboloide de duas folhas (duas componentes separadas).
- Se todos os coeficientes têm o mesmo sinal (todos positivos), obtém-se uma elipsoide (caso RHS positivo).
- No enunciado temos exatamente um coeficiente positivo (
) e dois negativos ( , ). Portanto, pela regra acima, trata-se de um hipérboloide de duas folhas cujo eixo está na direção da variável com coeficiente positivo (aqui, o eixo ).
Passo 3
Determinar onde existem pontos reais da superfície (domínio em termos de
) — isso ajuda muito no esboço.
Da equação:
O lado direito é sempre maior ou igual a
(pois
e
). Logo
Conclusão prática: não existem pontos com
. A superfície tem duas folhas: uma com
e outra com
. Em
ocorre a geração mínima das folhas (ponto central de cada folha).
Passo 4
Estudar as secções por planos paralelos ao plano
constante — são as elipses que aparecem quando fixamos
.
Fixe
. A equação reduce-se a
Chame
. Para que haja solução real precisa
, ou seja
(já obtido). Essa é a equação de uma elipse no plano
. Colocando na forma padrão:
Logo, para cada
com
temos uma elipse com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
.
Exemplo numérico para visualização:
- Em
: => elipse degenerada num ponto . - Em
: => semi-eixos , . Assim a elipse em é maior que a de .
As elipses crescem com.
Passo 5
Secções em outros planos úteis (para entender a forma nas direções coordenadas).
Plano
: substituindo
obtém-se
que é uma hipérbole no plano
(mais precisamente no plano
que contém o eixo
e o eixo
). Essa hipérbole tem ramos abertos nas direções
positivas e negativas (verifica-se pelo sinal de
). Analogamente, em
:
outra hipérbole no plano
. Essas secções mostram que cada folha se abre ao longo do eixo
, como duas “tigelas” opostas centradas em
.
Passo 6
Cones assintóticos (importante para o esboço: a superfície aproxima-se de um cone infinito à medida que
cresce).
Obtenha o cone assintótico tomando o termo dominante quando
grandes, ou simplesmente igualando o lado direito a zero:
Isto é o cone duplo (através da origem) dado por
Em termos de razões, escrevendo
e
obtemos
que é uma elipse no espaço de direções; isso diz que as geratrizes do cone fazem um ângulo fixo com o eixo
. Geometricamente: para
grande, as elipses de seção transversal crescem proporcionalmente a
e a superfície aproxima-se desse cone duplo.
Passo 7
Parametrização explícita (útil se quiser plotar com um software ou entender a geometria):
Uma parametrização natural usando funções hiperbólicas (que satisfazem
com
. Para a folha inferior (
) basta trocar
(mantendo
iguais em termos de
). Verificação rápida:
Passo 8
Como esboçar a superfície passo a passo (instruções práticas para fazer à mão, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
, , com vertical (ou o eixo que preferir); marque o ponto e no eixo . - Em
e coloque um ponto em e — são os pontos mais “próximos” ao plano . - Desenhe elipses cross-section em alguns níveis
como e . Por exemplo, em desenhe uma elipse com semi-eixos na direção e na direção . Em faça uma elipse menor, etc. As elipses aumentam conforme aumenta. - Conecte suavemente as elipses superiores formando uma “taça” voltada para cima a partir do ponto em
; faça o mesmo simetricamente para baixo a partir de . - Opcionalmente, esboce o cone assintótico
como guia pontilhado; as folhas se aproximam desse cone para grandes. - Verifique secções em planos
e — desenhe as hipérboles correspondentes nesse corte para reforçar a forma de cada folha.
Dica visual: pense em duas tigelas simétricas, uma acima do plano
começando em
e outra invertida começando em
; cada tigela tem secções elípticas que crescem ao se afastar do “gargalo” em
.
Passo 9
Resumo das propriedades principais (para decorar na prova):
- Tipo: hipérboloide de duas folhas.
- Eixo: eixo
. - Existência: só para
. - Seções
: elipses com semi-eixos (em ) e (em ). - Seções
e : hipérboles no plano correspondente. - Cone assintótico:
.
Resposta
Hipérboloide de duas folhas com eixo no eixo
; as folhas estão para
e
.
Esboço: duas “tigelas” simétricas em torno do eixo , encontrando-se nos pontos
, com seções
constante dadas por
(elipses que crescem com
) e cone assintótico
.
Esboço: duas “tigelas” simétricas em torno do eixo