Identifique e esboce a superfície quádrica.
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1.
O que se pede:
  • Identificar qual é a superfície quádrica descrita por essa equação.
  • Esboçar visualmente (dar uma descrição de como desenhar) essa superfície.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
  • A equação está em forma implícita quadrática em x,y,z.
  • Os coeficientes das parcelas quadráticas são: coeficiente de y^{2} positivo igual a 1, coeficiente de x^{2} negativo igual a -\tfrac{1}{4}, coeficiente de z^{2} negativo igual a -\tfrac{1}{9}.
  • O termo independente (lado direito) é 1.

Passo 2

Interpretação direta da forma da equação (sem transformar!): a equação já está diagonal (sem termos mistos xy,xz,yz), então basta olhar os sinais dos coeficientes das quadráticas para identificar o tipo geométrico.
Explicação didática do critério que vamos usar (passo-a-passo, sem pressupor conhecimento prévio):
  • Em uma equação quadrática diagonal do tipo A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1,o número de coeficientes positivos e negativos determina a topologia da superfície:
    • Se dois coeficientes positivos e um negativo, obtém-se um hipérboloide de uma folha (superfície conectada).
    • Se um coeficiente positivo e dois negativos (como aqui), obtém-se um hipérboloide de duas folhas (duas componentes separadas).
    • Se todos os coeficientes têm o mesmo sinal (todos positivos), obtém-se uma elipsoide (caso RHS positivo).
  • No enunciado temos exatamente um coeficiente positivo ( y^{2}) e dois negativos ( -\tfrac{x^{2}}{4}, -\tfrac{z^{2}}{9}). Portanto, pela regra acima, trata-se de um hipérboloide de duas folhas cujo eixo está na direção da variável com coeficiente positivo (aqui, o eixo y).

Passo 3

Determinar onde existem pontos reais da superfície (domínio em termos de y) — isso ajuda muito no esboço.
Da equação:
y^{2}=\;1+\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}.
O lado direito é sempre maior ou igual a 1 (pois \tfrac{x^{2}}{4}\ge0 e \tfrac{z^{2}}{9}\ge0). Logo
y^{2}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad |y|\ge1.
Conclusão prática: não existem pontos com |y|<1. A superfície tem duas folhas: uma com y\ge1 e outra com y\le-1. Em y=\pm1 ocorre a geração mínima das folhas (ponto central de cada folha).

Passo 4

Estudar as secções por planos paralelos ao plano y= constante — são as elipses que aparecem quando fixamos y.
Fixe y=y_{0}. A equação reduce-se a
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=y_{0}^{2}-1.
Chame k=y_{0}^{2}-1. Para que haja solução real precisa k\ge0, ou seja |y_{0}|\ge1 (já obtido). Essa é a equação de uma elipse no plano y=y_{0}. Colocando na forma padrão:
\frac{x^{2}}{(2\sqrt{k})^{2}}+\frac{z^{2}}{(3\sqrt{k})^{2}}=1.
Logo, para cada y_{0} com |y_{0}|>1 temos uma elipse com semi-eixo em x igual a a_x=2\sqrt{k}=2\sqrt{y_{0}^{2}-1} e semi-eixo em z igual a a_z=3\sqrt{k}=3\sqrt{y_{0}^{2}-1}.
Exemplo numérico para visualização:
  • Em y_{0}=1: k=0 => elipse degenerada num ponto (x,z)=(0,0).
  • Em y_{0}=2: k=3 => semi-eixos a_x=2\sqrt{3}, a_z=3\sqrt{3}. Assim a elipse em y=2 é maior que a de y=1.
    As elipses crescem com |y|.

Passo 5

Secções em outros planos úteis (para entender a forma nas direções coordenadas).
Plano x=0: substituindo x=0 obtém-se
y^{2}-\frac{z^{2}}{9}=1,
que é uma hipérbole no plano xz (mais precisamente no plano x=0 que contém o eixo y e o eixo z). Essa hipérbole tem ramos abertos nas direções y positivas e negativas (verifica-se pelo sinal de y^{2}). Analogamente, em z=0:
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1,
outra hipérbole no plano z=0. Essas secções mostram que cada folha se abre ao longo do eixo y, como duas “tigelas” opostas centradas em (0,\pm1,0).

Passo 6

Cones assintóticos (importante para o esboço: a superfície aproxima-se de um cone infinito à medida que |y| cresce).
Obtenha o cone assintótico tomando o termo dominante quando x,z,y grandes, ou simplesmente igualando o lado direito a zero:
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=0.
Isto é o cone duplo (através da origem) dado por
y^{2}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}.
Em termos de razões, escrevendo u=\dfrac{x}{y} e v=\dfrac{z}{y} obtemos
\frac{u^{2}}{4}+\frac{v^{2}}{9}=1,
que é uma elipse no espaço de direções; isso diz que as geratrizes do cone fazem um ângulo fixo com o eixo y. Geometricamente: para |y| grande, as elipses de seção transversal crescem proporcionalmente a |y| e a superfície aproxima-se desse cone duplo.

Passo 7

Parametrização explícita (útil se quiser plotar com um software ou entender a geometria):
Uma parametrização natural usando funções hiperbólicas (que satisfazem \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1\)) é, para a folha superior (\(y\ge1\)): \[\begin{cases} y=\operatorname{cosh} u,\\[4pt] x=2\,\operatorname{sinh} u\cos v,\\[4pt] z=3\,\operatorname{sinh} u\sin v, \end{cases}
com u\ge0\], \(v\in[0,2\pi). Para a folha inferior ( y\le-1) basta trocar y=-\operatorname{cosh} u (mantendo x,z iguais em termos de u,v). Verificação rápida:
y^{2}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u(\cos^{2}v+\sin^{2}v)=1.]

Passo 8

Como esboçar a superfície passo a passo (instruções práticas para fazer à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x, y, z com y vertical (ou o eixo que preferir); marque o ponto y=1 e y=-1 no eixo y.
  2. Em y=1 e y=-1 coloque um ponto em (0,1,0) e (0,-1,0) — são os pontos mais “próximos” ao plano y=0.
  3. Desenhe elipses cross-section em alguns níveis y como y=2 e y=-2. Por exemplo, em y=2 desenhe uma elipse com semi-eixos a_x=2\sqrt{3} na direção x e a_z=3\sqrt{3} na direção z. Em y=1{,}5 faça uma elipse menor, etc. As elipses aumentam conforme |y| aumenta.
  4. Conecte suavemente as elipses superiores formando uma “taça” voltada para cima a partir do ponto em y=1; faça o mesmo simetricamente para baixo a partir de y=-1.
  5. Opcionalmente, esboce o cone assintótico y^{2}=\tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{z^{2}}{9} como guia pontilhado; as folhas se aproximam desse cone para |y| grandes.
  6. Verifique secções em planos x=0 e z=0 — desenhe as hipérboles correspondentes nesse corte para reforçar a forma de cada folha.
Dica visual: pense em duas tigelas simétricas, uma acima do plano y=0 começando em y=1 e outra invertida começando em y=-1; cada tigela tem secções elípticas que crescem ao se afastar do “gargalo” em y=\pm1.

Passo 9

Resumo das propriedades principais (para decorar na prova):
  • Tipo: hipérboloide de duas folhas.
  • Eixo: eixo y.
  • Existência: só para |y|\ge1.
  • Seções y=\text{const}: elipses com semi-eixos 2\sqrt{y^{2}-1} (em x) e 3\sqrt{y^{2}-1} (em z).
  • Seções x=0 e z=0: hipérboles no plano correspondente.
  • Cone assintótico: y^{2}=\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{9}.

Resposta

Hipérboloide de duas folhas com eixo no eixo y; as folhas estão para y\ge1 e y\le-1.
Esboço: duas “tigelas” simétricas em torno do eixo y, encontrando-se nos pontos (0,\pm1,0), com seções y= constante dadas por \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{9}=y^{2}-1 (elipses que crescem com |y|) e cone assintótico y^{2}=\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{9}.

Exercícios relacionados