Seja F: V \rightarrow U uma transformação linear. Verifique que:
ImF é um subespaço vetorial de U.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear F: V \to U (entre dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo) e pede para verificar que \operatorname{Im}F é um subespaço vetorial de U.
Informações relevantes fornecidas:
  • F é linear, isto é, vale para todos v,w\in V e todo escalar \lambda a propriedade
F(v+w)=F(v)+F(w) \qquad\text{e}\qquad F(\lambda v)=\lambda F(v).
  • A imagem de F é o conjunto
\operatorname{Im}F=\{\,u\in U \mid \exists v\in V,\; F(v)=u\,\}.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que \operatorname{Im}F é um subespaço vetorial de U.

Passo 2

Lembrete das definições (rápido e claro):
  • Um conjunto W\subseteq U é subespaço vetorial de U se satisfaz três propriedades equivalentes (usadas comumente em provas):
    1. W contém o vetor nulo de U.
    2. W é fechado sob soma: se x,y\in W então x+y\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se x\in W e \lambda é escalar então \lambda x\in W.
      Outra forma equivalente e compacta: W é não vazio e fechado sob combinações lineares (ou só fechar sob soma e multiplicação por escalar). Vou usar a versão em três itens acima porque é a mais direta para este exercício.

Passo 3

Primeiro ver que \operatorname{Im}F não é vazio e contém o vetor zero de U.
Provar que F(0_V)=0_U. Aqui 0_V é o vetor nulo em V e 0_U é o vetor nulo em U.
  • Tome qualquer v\in V. Como 0_V = 0\cdot v, aplicando a linearidade:
F(0_V)=F(0\cdot v)=0\cdot F(v)=0_U.
Portanto 0_U\in\operatorname{Im}F (porque F(0_V)=0_U), logo \operatorname{Im}F é não vazio e contém o vetor zero.
Explicação didática: usar a propriedade F(\lambda v)=\lambda F(v) com \lambda=0 é um truque padrão e simples que garante que todo operador linear envia o zero no domínio para o zero no contradomínio.

Passo 4

Fechamento por soma: mostro que se y_1,y_2\in\operatorname{Im}F então y_1+y_2\in\operatorname{Im}F.
Como y_1,y_2\in\operatorname{Im}F, existem v_1,v_2\in V tais que
F(v_1)=y_1 \qquad\text{e}\qquad F(v_2)=y_2.
Pelo linearidade de F,
y_1+y_2 = F(v_1)+F(v_2)=F(v_1+v_2).
Como v_1+v_2\in V, a expressão F(v_1+v_2) é um elemento de \operatorname{Im}F. Logo y_1+y_2\in\operatorname{Im}F.
Didática: a ideia é “fatorar” a soma dentro de F usando F(v_1)+F(v_2)=F(v_1+v_2). É assim que mostra-se que imagens de somas correspondem à soma de imagens para aplicações lineares.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar: mostro que se y\in\operatorname{Im}F e \lambda é um escalar então \lambda y\in\operatorname{Im}F.
Se y\in\operatorname{Im}F existe v\in V tal que F(v)=y. Pela linearidade,
\lambda y = \lambda F(v)=F(\lambda v).
Como \lambda v\in V, segue que \lambda y\in\operatorname{Im}F.
Didática: este passo usa diretamente a propriedade F(\lambda v)=\lambda F(v). Juntando com o passo anterior, já temos fechamento sob combinações lineares.

Passo 6

Conclusão formal: reunindo o que foi provado:
  • 0_U\in\operatorname{Im}F;
  • \operatorname{Im}F é fechado sob soma;
  • \operatorname{Im}F é fechado sob multiplicação por escalares.
Pelo critério de subespaço, isso implica que \operatorname{Im}F é um subespaço vetorial de U.

Passo 7

Exemplo concreto (para fixar a ideia): considere F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por F(x,y)=(x,0).
  • A imagem é \operatorname{Im}F=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
  • Esse conjunto contém (0,0), é fechado sob soma e multiplicação por escalares, portanto é um subespaço (uma reta que passa pela origem). Ver se a imagem passa pela origem é uma checagem rápida em provas.

Passo 8

Dica de prova para a prova (motivação e economia de tempo):
  • Em provas, o roteiro padrão é sempre o mesmo: provar F(0)=0 (para garantir não vazio) e depois provar fechamento sob soma e escalar. É curto, direto e evita confusões.
  • Alternativa curta: mostrar diretamente que para quaisquer y_1,y_2\in\operatorname{Im}F e quaisquer escalares \alpha,\beta tem-se \alpha y_1+\beta y_2\in\operatorname{Im}F, porque \alpha y_1+\beta y_2=F(\alpha v_1+\beta v_2). Isso prova de uma vez que é fechado sob combinações lineares.

Resposta

\operatorname{Im}F é um subespaço vetorial de U.

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