Seja
U uma transformação linear. Verifique que:
ImF é um subespaço vetorial de U.
ImF é um subespaço vetorial de U.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
(entre dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo) e pede para verificar que
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é linear, isto é, vale para todos e todo escalar a propriedade
- A imagem de
é o conjunto
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é um subespaço vetorial de .
Passo 2
Lembrete das definições (rápido e claro):
- Um conjunto
é subespaço vetorial de se satisfaz três propriedades equivalentes (usadas comumente em provas): -
contém o vetor nulo de . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e é escalar então .
Outra forma equivalente e compacta:é não vazio e fechado sob combinações lineares (ou só fechar sob soma e multiplicação por escalar). Vou usar a versão em três itens acima porque é a mais direta para este exercício.
-
Passo 3
Primeiro ver que
não é vazio e contém o vetor zero de
.
Provar que
. Aqui
é o vetor nulo em
e
é o vetor nulo em
.
- Tome qualquer
. Como , aplicando a linearidade:
Portanto
(porque
), logo
é não vazio e contém o vetor zero.
Explicação didática: usar a propriedade
com
é um truque padrão e simples que garante que todo operador linear envia o zero no domínio para o zero no contradomínio.
Passo 4
Fechamento por soma: mostro que se
então
.
Como
, existem
tais que
Pelo linearidade de
,
Como
, a expressão
é um elemento de
. Logo
.
Didática: a ideia é “fatorar” a soma dentro de
usando
. É assim que mostra-se que imagens de somas correspondem à soma de imagens para aplicações lineares.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar: mostro que se
e
é um escalar então
.
Se
existe
tal que
. Pela linearidade,
Como
, segue que
.
Didática: este passo usa diretamente a propriedade
. Juntando com o passo anterior, já temos fechamento sob combinações lineares.
Passo 6
Conclusão formal: reunindo o que foi provado:
-
; -
é fechado sob soma; -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Pelo critério de subespaço, isso implica que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Exemplo concreto (para fixar a ideia): considere
dada por
.
- A imagem é
. - Esse conjunto contém
, é fechado sob soma e multiplicação por escalares, portanto é um subespaço (uma reta que passa pela origem). Ver se a imagem passa pela origem é uma checagem rápida em provas.
Passo 8
Dica de prova para a prova (motivação e economia de tempo):
- Em provas, o roteiro padrão é sempre o mesmo: provar
(para garantir não vazio) e depois provar fechamento sob soma e escalar. É curto, direto e evita confusões. - Alternativa curta: mostrar diretamente que para quaisquer
e quaisquer escalares tem-se , porque . Isso prova de uma vez que é fechado sob combinações lineares.