Uma família a um parâmetro de soluções para
Por inspeção,* determine uma solução singular para a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado diz que a equação diferencial é
e que existe uma família a um parâmetro de soluções dada por
A tarefa é, por inspeção, determinar uma solução singular da equação diferencial.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A família dependente do parâmetro
é explicitamente dada por . - Precisa-se encontrar uma solução da EDO que seja singular (isto é, uma solução que não esteja representada por nenhum valor finito de
na família, ou que seja limite/ envelope da família).
Passo 2
Primeiro, vou explicar o conceito útil aqui (bem devagar e com exemplo): uma solução constante
constante é uma solução da EDO se, ao substituir na EDO, a derivada e o lado direito coincidirem. Essas soluções constantes também são chamadas de soluções de equilíbrio. Vamos testar constantes simples que aparecem naturalmente na EDO:
- A EDO é
. Se for constante, então . Logo a condição para uma constante ser solução é
Resolvendo
obtemos
. Portanto as constantes
e
são candidatas a soluções da EDO.
Passo 3
Verificação direta das constantes:
- Para
: o lado direito é , e a derivada de uma constante é . Logo é solução. - Para
: o lado direito é , e a derivada é . Logo também é solução.
Portanto ambas são soluções da EDO. Agora precisamos ver se alguma delas é uma solução singular em relação à família dada.
Passo 4
Verificar se
pertence à família dada: tomar
na expressão da família obtém
ou seja,
está representada na família (é o caso
). Logo
não é singular — é uma solução regular da família.
Passo 5
Verificar se
pertence à família para algum
finito. Igualamos
Resolver isso em
:
Cancelando
dos dois lados sobra
, que é impossível. Portanto não existe valor finito de
que produza
. Conclusão:
NÃO pertence à família para nenhum
finito.
Passo 6
Mesmo não pertencendo para nenhum
finito, é bom inspecionar o comportamento limite da família quando
cresce muito em módulo. Considere
(ou
). Para grandes
a expressão dominante em numerador e denominador é
. Escrevendo e fatorando:
Tomando o limite
(portanto
) obtemos
Ou seja, a família aproxima-se de
quando
cresce sem limite, mas nenhum
finito dá exatamente
.
Passo 7
Agora, relacionando essas observações com o conceito de solução singular: uma solução singular pode aparecer como uma solução que não é gerada por nenhum parâmetro da família, mas que é limite ou envelope da família. Aqui vimos que
-
é solução da EDO; -
não é representada por nenhum finito na família; - a família tende para
quando .
Portanto
é uma solução singular do problema: é uma solução da EDO que não faz parte da família parametrizada por
, sendo obtida apenas como limite da família.
Passo 8
Para reforçar (um pequeno cálculo adicional, opcional, que ajuda a “ver” por inspeção): escrevendo a família em termos de
como variável auxiliar
obtém-se
Esse quociente toma o valor
para
(caso
), e à medida que
o quociente tende para
. Não existe
que faça o quociente exatamente
, somente o limite. Isso deixa claro por inspeção que
é o valor limite/natural “sobrando” da família e, sendo também solução da EDO, é a solução singular pedida.