Uma família a um parâmetro de soluções para
y^{\prime}=y^{2}-1 \text { é } y=\frac{1+c e^{2 x}}{1-c e^{2 x}}é
Por inspeção,* determine uma solução singular para a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado diz que a equação diferencial é
y' = y^{2} - 1
e que existe uma família a um parâmetro de soluções dada por
y = \frac{1 + c\,e^{2x}}{1 - c\,e^{2x}}.
A tarefa é, por inspeção, determinar uma solução singular da equação diferencial.
Informações relevantes que temos:
  • A família dependente do parâmetro c é explicitamente dada por \displaystyle y(x;c)=\frac{1+c\,e^{2x}}{1-c\,e^{2x}}.
  • Precisa-se encontrar uma solução da EDO que seja singular (isto é, uma solução que não esteja representada por nenhum valor finito de c na família, ou que seja limite/ envelope da família).

Passo 2

Primeiro, vou explicar o conceito útil aqui (bem devagar e com exemplo): uma solução constante y=constante é uma solução da EDO se, ao substituir na EDO, a derivada e o lado direito coincidirem. Essas soluções constantes também são chamadas de soluções de equilíbrio. Vamos testar constantes simples que aparecem naturalmente na EDO:
  • A EDO é y'=y^{2}-1. Se y for constante, então y'=0. Logo a condição para uma constante y=k ser solução é
0 = k^{2}-1.
Resolvendo k^{2}-1=0 obtemos k=\pm 1. Portanto as constantes y=1 e y=-1 são candidatas a soluções da EDO.

Passo 3

Verificação direta das constantes:
  • Para y=1: o lado direito é 1^{2}-1=0, e a derivada de uma constante é 0. Logo y=1 é solução.
  • Para y=-1: o lado direito é (-1)^{2}-1=0, e a derivada é 0. Logo y=-1 também é solução.
Portanto ambas são soluções da EDO. Agora precisamos ver se alguma delas é uma solução singular em relação à família dada.

Passo 4

Verificar se y=1 pertence à família dada: tomar c=0 na expressão da família obtém
y=\frac{1+0\cdot e^{2x}}{1-0\cdot e^{2x}}=\frac{1}{1}=1,
ou seja, y=1 está representada na família (é o caso c=0). Logo y=1 não é singular — é uma solução regular da família.

Passo 5

Verificar se y=-1 pertence à família para algum c finito. Igualamos
\frac{1+c\,e^{2x}}{1-c\,e^{2x}} = -1.
Resolver isso em c:
1 + c\,e^{2x} = -\bigl(1 - c\,e^{2x}\bigr) \quad\Rightarrow\quad 1 + c\,e^{2x} = -1 + c\,e^{2x}.
Cancelando c\,e^{2x} dos dois lados sobra 1 = -1, que é impossível. Portanto não existe valor finito de c que produza y=-1. Conclusão: y=-1 NÃO pertence à família para nenhum c finito.

Passo 6

Mesmo não pertencendo para nenhum c finito, é bom inspecionar o comportamento limite da família quando c cresce muito em módulo. Considere c\to\infty (ou c\to -\infty). Para grandes |c| a expressão dominante em numerador e denominador é c\,e^{2x}. Escrevendo e fatorando:
y=\frac{1+c\,e^{2x}}{1-c\,e^{2x}} = \frac{c\,e^{2x}\bigl(1+\tfrac{1}{c\,e^{2x}}\bigr)}{c\,e^{2x}\bigl(-1+\tfrac{1}{c\,e^{2x}}\bigr)} = -\frac{1+\tfrac{1}{c\,e^{2x}}}{1-\tfrac{1}{c\,e^{2x}}}.
Tomando o limite c\to\pm\infty (portanto \tfrac{1}{c\,e^{2x}}\to 0) obtemos
\lim_{c\to\pm\infty} y = -\frac{1+0}{1-0} = -1.
Ou seja, a família aproxima-se de y=-1 quando |c| cresce sem limite, mas nenhum c finito dá exatamente y=-1.

Passo 7

Agora, relacionando essas observações com o conceito de solução singular: uma solução singular pode aparecer como uma solução que não é gerada por nenhum parâmetro da família, mas que é limite ou envelope da família. Aqui vimos que
  • y=-1 é solução da EDO;
  • y=-1 não é representada por nenhum c finito na família;
  • a família tende para y=-1 quando c\to\pm\infty.
Portanto y=-1 é uma solução singular do problema: é uma solução da EDO que não faz parte da família parametrizada por c, sendo obtida apenas como limite da família.

Passo 8

Para reforçar (um pequeno cálculo adicional, opcional, que ajuda a “ver” por inspeção): escrevendo a família em termos de c\,e^{2x} como variável auxiliar u=c\,e^{2x} obtém-se
y=\frac{1+u}{1-u}.
Esse quociente toma o valor 1 para u=0 (caso c=0), e à medida que u\to\infty o quociente tende para -1. Não existe u que faça o quociente exatamente -1, somente o limite. Isso deixa claro por inspeção que -1 é o valor limite/natural “sobrando” da família e, sendo também solução da EDO, é a solução singular pedida.

Resposta

y=-1

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