) Um dos mais famosos, o Cometa Halley orbita ao redor do Sol e pode ser observado da Terra a cada 76 anos. Considerando a órbita circular (para facilitar as contas) estime:
A distância do cometa Halley até o Sol, o raio da sua órbita. (0,25 pts)
Dica:
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A distância do cometa Halley até o Sol, o raio da sua órbita. (0,25 pts)
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o Cometa Halley, que dá uma volta completa ao redor do Sol a cada 76 anos. A gente precisa descobrir qual é a distância desse cometa até o Sol, ou seja, o raio da sua órbita. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física, mais especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton e alguns conceitos de movimento circular. Os dados que a gente tem são a constante gravitacional $ G $, a massa do Sol $ M_{sol} $ e a massa do Halley $ m_{Halley} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força centrípeta que mantém o cometa na sua órbita é fornecida pela força gravitacional entre o Sol e o cometa. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
E a força gravitacional $ F_g $ é:
Como o cometa está em órbita estável, essas duas forças são iguais:
Passo 3
A gente pode simplificar essa equação cancelando a massa do Halley dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por $ r^2 $:
Agora, precisamos relacionar a velocidade $ v $ com o período da órbita $ T $. Sabemos que o período é o tempo que o cometa leva para dar uma volta completa, e a velocidade é o comprimento da circunferência dividido pelo período:
Passo 4
Substituindo $ v $ na equação anterior:
Isso simplifica para:
Agora, isolamos $ r^3 $:
Para encontrar $ r $, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Passo 5
Vamos agora calcular os valores. Primeiro, precisamos converter o período $ T $ de anos para segundos:
Substituindo os valores na equação:
Calculando isso, encontramos:
Resposta
A distância do Cometa Halley até o Sol, ou seja, o raio da sua órbita, é aproximadamente $ 5,2 \times 10^{12} $ metros.