(Farias (2009) - ex.4.10) Considere uma variável aleatória X \sim N(3,25) :
Calcule \operatorname{Pr}(-3 \leq X \leq 3)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média 3 e variância 25, ou seja,
X\sim N(3,25),
e pede a probabilidade
\Pr(-3 \le X \le 3).

Passo 2

Para calcular \Pr(-3\le X\le 3) fazemos a padronização, definindo
Z = \frac{X - 3}{5},
onde Z\sim N(0,1). Assim,
\Pr(-3 \le X \le 3) = \Pr\Bigl(\frac{-3-3}{5} \le Z \le \frac{3-3}{5}\Bigr) = \Pr(-1,2 \le Z \le 0).

Passo 3

Usando as propriedades da normal padrão, temos
\Pr(-1,2 \le Z \le 0) = \Pr(Z \le 0) - \Pr(Z \le -1,2).
Pela simetria, \Pr(Z \le -1,2)=1-\Phi(1,2) e \Pr(Z\le0)=0,5, onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão, \Phi(1,2)=0,8849. Portanto,
\Pr(-1,2 \le Z \le 0) = 0,5 - \bigl(1 - 0,8849\bigr) = 0,5 - 0,1151 = 0,3849.

Resposta

\Pr(-3 \le X \le 3) \approx 0,3849.

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