(Farias (2009) - ex.4.10) Considere uma variável aleatória X \sim N(3,25) :
Calcule \operatorname{Pr}(-2 \leq X \leq 8)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=3 e variância \sigma^2=25. Precisamos calcular a probabilidade
\Pr(-2 \le X \le 8).
Para isso vamos usar a técnica de padronização, que converte X numa normal padrão Z\sim N(0,1) e tabelas (ou funções) da função de distribuição acumulada \Phi.

Passo 2

Definimos a variável padrão
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 3}{5},
onde \sigma = \sqrt{25} = 5.

Passo 3

Calculamos os pontos de corte em Z:
z_1 = \frac{-2 - 3}{5} = -1, \quad z_2 = \frac{8 - 3}{5} = 1.

Passo 4

Assim
\Pr(-2 \le X \le 8) = \Pr\bigl(-1 \le Z \le 1\bigr) = \Phi(1) - \Phi(-1).

Passo 5

Usando a simetria da normal padrão, \Phi(-1)=1-\Phi(1), obtemos
\Phi(1)-\bigl[1-\Phi(1)\bigr] =2\,\Phi(1)-1.

Passo 6

Da tabela ou função, \Phi(1)\approx 0,8413. Logo
2\times 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,6826.

Exercícios relacionados