(Farias (2009) - ex.4.1) Na distribuição normal X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), encontre:
\operatorname{Pr}(X \leq \mu+2 \sigma)

Passo 1

O enunciado diz que X é normalmente distribuída com média \mu e variância \sigma^2, ou seja,
X \sim N\bigl(\mu,\sigma^2\bigr)
e pede a probabilidade
\Pr\bigl(X \le \mu + 2\sigma\bigr).
Para resolver, vamos usar a padronização e tabelas da normal padrão.

Passo 2

Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
que satisfaz
Z \sim N(0,1).

Passo 3

Reescrevemos a probabilidade em termos de Z:
\Pr\bigl(X \le \mu + 2\sigma\bigr) = \Pr\Bigl(\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{\mu+2\sigma - \mu}{\sigma}\Bigr) = \Pr\bigl(Z \le 2\bigr).

Passo 4

Pela tabela da normal padrão,
\Pr\bigl(Z \le 2\bigr) = \Phi(2)\approx 0,9772.

Resposta

\Pr\bigl(X \le \mu + 2\sigma\bigr) = \Phi(2)\approx 0,9772.

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