(Farias (2009) - ex.4.10) Considere uma variável aleatória X \sim N(3,25) :
Se Y=2 X, então calcule E[Y] e \operatorname{Var}[Y].

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória X com distribuição normal de média 3 e variância 25, isto é
X\sim N(3,25).
Define-se Y=2X. Para resolver, vamos usar as propriedades de transformações lineares de variáveis aleatórias: se Y=aX+b, então
E[Y]=a\,E[X]+b
e
\mathrm{Var}[Y]=a^{2}\,\mathrm{Var}[X].

Passo 2

Aplicando a fórmula da esperança com a=2 e b=0, temos
E[Y]=2\,E[X]=2\cdot 3=6.

Passo 3

Aplicando a fórmula da variância com a=2, obtemos
\mathrm{Var}[Y]=2^{2}\,\mathrm{Var}[X]=4\cdot 25=100.

Resposta

E[Y]=6 e \mathrm{Var}[Y]=100.

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