O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x)=60 x-x^2 e C(x)=10(x+40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia. Determine:
$d) o conjunto imagem da função d) o conjunto ima>=m da função .

Passo 1

O enunciado pede o conjunto imagem da função lucro diário, sabendo que a receita é dada por
R(x)=60x - x^2
e o custo por
C(x)=10(x+40)
com número de itens produzidos por dia x variando de 0 a 50.

Passo 2

Primeiro formamos a função lucro L(x)=R(x)-C(x). Substituindo, temos
L(x)=igl(60x - x^2r)-10(x+40) 
Simplificando essa expressão:

Passo 3

Agrupando termos semelhantes em L(x):
L(x)=-x^2 +60x -10x -400
L(x)=-x^2 +50x -400

Passo 4

Percebemos que L(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo, logo é côncava para baixo. O valor máximo ocorre no vértice, dado por
xv=-b2a=-502cdot(-1)=25

Passo 5

Calculamos o lucro no vértice e nos extremos do domínio [0,50]:
L(25)=-25^2+50cdot25-400=-625+1250-400=225
L(0)=-0+0-400=-400
L(50)=-50^2+50cdot50-400=-2500+2500-400=-400

Passo 6

Como a parábola é côncava para baixo, o valor mínimo no intervalo ocorre nas extremidades e é -400, e o valor máximo é 225. Portanto o conjunto imagem é o intervalo fechado correspondente.

Resposta

[-400, 225]

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