Um próton está se movendo em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme \vec{B}=(10 \hat{i}-20 \hat{j}+30 \hat{k}) \mathrm{mT} \quad Em um instante determinado t o próton possui uma velocidade dada por \vec{v}=\left(v_{x} \hat{i}+v_{y} \hat{j}+2 \hat{k}\right) \mathrm{km} / \mathrm{s} e a força magnética que atua sobre a partícula é \vec{F}_{B}=(4 \hat{i}+2 \hat{j}) \times 10^{-17} \mathrm{~N} Nesse instante, calcule:
c) Explique por que a força magnética não possui componente na \hat{k}, direção mesmo que o campo magnético e a velocidade do próton possuam componentes nessa direção.
Passo 1
O enunciado dá:
Campo magnético \vec{B}=(10\hat{i}-20\hat{j}+30\hat{k})\\ \mathrm{mT}.
Velocidade do próton no instante considerado \vec{v}=(v_{x}\hat{i}+v_{y}\hat{j}+2\hat{k})\\ \mathrm{km/s}. (Aqui v_x e v_y são incógnitas.)
Força magnética medida \vec{F}_{B}=(4\hat{i}+2\hat{j})\times 10^{-17}\\ \mathrm{N}. Note que a componente em \hat{k} de \vec{F}_{B} é zero (pois só aparecem \hat{i} e \hat{j}).
A pergunta (c) pede: explique por que a força magnética não possui componente na direção \hat{k}, mesmo que tanto \vec{B} quanto \vec{v} possuam componentes em \hat{k}.
Passo 2
Vamos escrever a lei da força magnética (fórmula fundamental) e explicar o produto vetorial:
A força magnética sobre uma carga q é dada por \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
O produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} tem componentes dadas pela expansão do determinante (vou mostrar só a componente em \hat{k} que é o ponto crucial).
Em componentes, se \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), a componente em \hat{k} do produto vetorial é
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.
Explicando cada símbolo: v_x,v_y,v_z são as componentes da velocidade nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k} e B_x,B_y,B_z as componentes do campo. O operador \times é o produto vetorial.
Passo 3
Derivação passo a passo da componente em \hat{k} (pra ficar bem claro):
O produto vetorial pode ser escrito como determinante
Expandindo pela terceira coluna (ou lembrando a fórmula padrão) obtemos a componente em \hat{k}
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.
Note bem: nessa expressão as componentes v_z e B_z não aparecem — elas desapareceram na combinação que dá a componente em \hat{k}.
Passo 4
Interpretação algebraica do que isso significa para o nosso problema:
A força magnética tem componente em \hat{k} igual a
F_z = q\,(v_x B_y - v_y B_x).
Portanto, qualquer contribuição de v_z ou B_z não aparece em F_z: as componentes ao longo de \hat{k} de \vec{v} e \vec{B} não influenciam a componente em \hat{k} de \vec{v}\times\vec{B}.
No enunciado já foi fornecido \vec{F}_B=(4\hat{i}+2\hat{j})\times 10^{-17}\\ \mathrm{N}, ou seja F_z=0. Isso implica diretamente que
v_x B_y - v_y B_x = 0,
o que é uma condição sobre as projeções no plano xy das direções de \vec{v} e \vec{B}.
Passo 5
Explicação geométrica e intuição (sem contas pesadas):
O vetor \vec{v}\times\vec{B} é sempre perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B}. A componente em \hat{k} de \vec{v}\times\vec{B} corresponde à “área” (orientada) do paralelogramo formado pelas projeções de \vec{v} e \vec{B} no plano xy.
Se as projeções de \vec{v} e \vec{B} no plano xy são paralelas (ou proporcionais), a área desse paralelogramo é zero e então não haverá componente em \hat{k}. Isso pode acontecer mesmo que ambos tenham componentes em \hat{k}; as partes ao longo de \hat{k} não geram contribuição para a componente \hat{k} do produto vetorial.
Exemplo numérico simples para ver a ideia: \vec{v}=(0,0,1) e \vec{B}=(1,0,1) têm componentes em \hat{k} mas \vec{v}\times\vec{B}=(0,1,0) — sem componente em \hat{k}. Ou seja, a presença de v_z e B_z não garante F_z\neq 0.
Passo 6
Conclusão amigável e motivadora: o motivo prático para a prova
Quando precisar checar a componente em \hat{k} da força magnética na prova, use direto a fórmula F_z=q(v_x B_y - v_y B_x). Se essa combinação for zero, a força não terá componente em \hat{k}, independentemente de v_z e B_z.
Você já tem um atalho: ao ver \vec{F}_B com F_z=0, saiba que isso é consequência de v_x B_y = v_y B_x — e não um sinal de ausência de v_z ou B_z.
Resposta
Porque a componente em \hat{k} da força magnética é dada por F_z=q\,(v_x B_y - v_y B_x), expressão que não contém v_z nem B_z; portanto as componentes em \hat{k} de \vec{v} e \vec{B} não entram em F_z, e como no enunciado F_z=0 tem-se v_x B_y - v_y B_x=0, explicando a ausência da componente em \hat{k}.