Em um pequeno edifício, água é transportada do reservatório subterrâneo para uma caixa d’água no topo do prédio a uma vazão de
. O diâmetro da tubulação de recalque é de
e o diâmetro da tubulação de sucção é de 10 cm . O material da tubulação é aço cujo rugosidade é de
. As singularidades presentes na tubulação podem ser consideradas do seguinte modo:
- na tubulação de sucção, a singularidade (1) possui uma perda de carga equivalente a que ocorre em um comprimento de 20 metros da tubulação de aço e a singularidade (2) possui uma perda de carga equivalente a que ocorre em um comprimento de 2 metros da tubulação de aço.
- na tubulação de recalque, a singularidade (6) e a singularidade (7) possuem a mesma perda de carga e cada uma é equivalente a que ocorre em um comprimento de 1 metro da tubulação de aço. A singularidade (5) possui um coeficiente de perda de carga localizada,
e a singularidade (8) possui um coeficiente de perda de carga localizada,
.
- as singularidades (3) e (4) representam respectivamente a entrada e a saída da bomba e não influenciam na perda de carga.
Sabe-se que peso específico da água no local é de
e a sua viscosidade cinemática é de
. Além da pressão imposta em (9) também há pressão atmosférica. Considere aceleração da gravidade,
e determine a potência da bomba (B) supondo seu rendimento igual à
.
Sabe-se que peso específico da água no local é de
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede e todas as informações dadas (alguns comprimentos e alturas eu peguei da imagem fornecida).
O que pede:
- Determinar a potência da bomba (B) considerando rendimento
.
Informações fornecidas (valores numéricos que usarei; indiquei quando foram obtidos da figura):
- Vazão volumétrica:
. - Diâmetros das tubulações:
- sucção:
(peguei do enunciado). - recalque:
(peguei do enunciado).
- sucção:
- Rugosidade do aço:
(enunciado). - Viscosidade cinemática:
(enunciado). - Peso específico da água:
(enunciado). - Aceleração da gravidade:
(enunciado). - Pressão imposta no reservatório superior (ponto (9)):
acima da atmosférica (enunciado). O reservatório fonte inferior está à pressão atmosférica; portanto . - Comprimentos e alturas (peguei da imagem):
- trecho de sucção: vertical total desde a tomada até o nível do eixo da bomba =
(1 m do nível livre até a tomada + 2 m até o nível do eixo); trecho horizontal antes da bomba = . Portanto comprimento físico sucção . - trecho de recalque: trecho horizontal após bomba
, subida vertical (risco) , trecho horizontal final . Portanto comprimento físico recalque . - singularidades (informadas no enunciado / figura):
- na sucção: (1) equivalente a
de tubulação de aço; (2) equivalente a de tubulação de aço. - no recalque: (6) e (7) cada uma equivalente a
de tubulação de aço; (5) perda localizada com coeficiente ; (8) perda localizada com coeficiente . - (3) e (4) (entrada/saída da bomba) não influenciam.
- na sucção: (1) equivalente a
- trecho de sucção: vertical total desde a tomada até o nível do eixo da bomba =
- Observação sobre velocidades nas caixas d’água: vou considerar velocidade nos reservatórios desprezível (áreas grandes), logo suas velocidades-head são nulas.
Resumo de comprimentos efetivos usados:
- comprimento equivalente sucção
. - comprimento equivalente recalque
. - as perdas localizadas
e serão tratadas separadamente como .
Passo 2
Calcular áreas, velocidades e números de Reynolds (explico cada fórmula).
Fórmulas e significado:
- Área de seção:
, onde é o diâmetro. - Velocidade média no tubo:
. - Número de Reynolds:
; se o escoamento é turbulento.
Cálculos:
- área sucção:
- área recalque:
Interpretação: ambos os escoamentos são turbulentos (
), então a perda por atrito será calculada com a fórmula de Darcy–Weisbach com fator de atrito apropriado.
Passo 3
Calcular os fatores de atrito de Darcy (
). Vou explicar a ideia e usar uma fórmula explícita prática.
Teoria/idéia:
- Para perda por atrito em tubulação usamos a fórmula de Darcy–Weisbach:
onde é o fator de atrito (adimensional). Para regime turbulento e tubos rugosos, satisfaz a equação implícita de Colebrook; uma fórmula explícita amplamente usada é a de Swamee–Jain: Aqui é a rugosidade absoluta, o diâmetro e o número de Reynolds.
Aplicando Swamee–Jain:
-
Para sucção (
, , ): -
Para recalque (
, ):
Comentário: ambas as
estão na ordem de
, valor típico para aço com esses parâmetros.
Passo 4
Calcular as perdas por atrito (Darcy) em cada trecho.
Fórmula:
Termos necessários:
para cada trecho:
- sucção:
- recalque:
L/D:
- sucção:
, . - recalque:
, .
Agora as perdas:
- sucção:
- recalque:
Somando:
Passo 5
Calcular as perdas localizadas (singularidades com coeficiente
e aquelas dadas em comprimento equivalente já consideradas).
Explicação:
- Perda localizada com coeficiente
é , onde é a velocidade no trecho onde a singularidade está (aqui para (5) e (8)).
Cálculos:
- para (5):
- para (8):
As singularidades (1),(2),(6),(7) já foram convertidas em comprimentos equivalentes e incluídas nas perdas por atrito no Passo 4.
Somando as perdas localizadas:
Passo 6
Determinar a carga (altura) que a bomba precisa fornecer e, a partir daí, a potência.
Energia necessária (carga da bomba):
- Fórmula (energia por unidade de peso): entre a superfície livre do reservatório inferior (ponto 0) e a superfície do reservatório superior (ponto 9), desprezando velocidades nas superfícies:
onde é a cabeça de pressão, a diferença de cota entre as superfícies, e as as perdas.
Valores:
- pressão:
- diferença de cota entre superfícies (peguei da figura):
(2 m do nível livre até o eixo da bomba + riser de 10 m + 1 m até a superfície do reservatório). - perdas somadas:
(arredondei nos passos anteriores).
Portanto:
Potência hidráulica fornecida pela bomba:
- Potência hidráulica (potência útil ao fluido):
Substituindo:
Potência no eixo da bomba considerando rendimento
: