Em um pequeno edifício, água é transportada do reservatório subterrâneo para uma caixa d’água no topo do prédio a uma vazão de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. O diâmetro da tubulação de recalque é de 6,25 \mathrm{~cm} e o diâmetro da tubulação de sucção é de 10 cm . O material da tubulação é aço cujo rugosidade é de 4,6 \times 10^{-5} \mathrm{~m}. As singularidades presentes na tubulação podem ser consideradas do seguinte modo:
  • na tubulação de sucção, a singularidade (1) possui uma perda de carga equivalente a que ocorre em um comprimento de 20 metros da tubulação de aço e a singularidade (2) possui uma perda de carga equivalente a que ocorre em um comprimento de 2 metros da tubulação de aço.
  • na tubulação de recalque, a singularidade (6) e a singularidade (7) possuem a mesma perda de carga e cada uma é equivalente a que ocorre em um comprimento de 1 metro da tubulação de aço. A singularidade (5) possui um coeficiente de perda de carga localizada, \mathrm{k}=10 e a singularidade (8) possui um coeficiente de perda de carga localizada, \mathrm{k}=1.
  • as singularidades (3) e (4) representam respectivamente a entrada e a saída da bomba e não influenciam na perda de carga.
    Sabe-se que peso específico da água no local é de 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} e a sua viscosidade cinemática é de 10^{-6} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}. Além da pressão imposta em (9) também há pressão atmosférica. Considere aceleração da gravidade, g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e determine a potência da bomba (B) supondo seu rendimento igual à 70 \%.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e todas as informações dadas (alguns comprimentos e alturas eu peguei da imagem fornecida).
O que pede:
  • Determinar a potência da bomba (B) considerando rendimento \eta=70\%.
Informações fornecidas (valores numéricos que usarei; indiquei quando foram obtidos da figura):
  • Vazão volumétrica: Q=10\\ \mathrm{L/s}=0{,}01\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetros das tubulações:
    • sucção: D_s=0{,}10\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
    • recalque: D_d=0{,}0625\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • Rugosidade do aço: \varepsilon=4{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (enunciado).
  • Viscosidade cinemática: \nu=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (enunciado).
  • Peso específico da água: \gamma=10^4\\ \mathrm{N/m^3} (enunciado).
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2} (enunciado).
  • Pressão imposta no reservatório superior (ponto (9)): p_9=0{,}2\\ \mathrm{MPa} acima da atmosférica (enunciado). O reservatório fonte inferior está à pressão atmosférica; portanto \Delta p = p_9-p_0 = 0{,}2\\ \mathrm{MPa}=200000\\ \mathrm{Pa}.
  • Comprimentos e alturas (peguei da imagem):
    • trecho de sucção: vertical total desde a tomada até o nível do eixo da bomba = 3\\ \mathrm{m} (1 m do nível livre até a tomada + 2 m até o nível do eixo); trecho horizontal antes da bomba = 5\\ \mathrm{m}. Portanto comprimento físico sucção L_{s,phys}=8\\ \mathrm{m}.
    • trecho de recalque: trecho horizontal após bomba 50\\ \mathrm{m}, subida vertical (risco) 10\\ \mathrm{m}, trecho horizontal final 1\\ \mathrm{m}. Portanto comprimento físico recalque L_{d,phys}=61\\ \mathrm{m}.
    • singularidades (informadas no enunciado / figura):
      • na sucção: (1) equivalente a 20\\ \mathrm{m} de tubulação de aço; (2) equivalente a 2\\ \mathrm{m} de tubulação de aço.
      • no recalque: (6) e (7) cada uma equivalente a 1\\ \mathrm{m} de tubulação de aço; (5) perda localizada com coeficiente k_5=10; (8) perda localizada com coeficiente k_8=1.
      • (3) e (4) (entrada/saída da bomba) não influenciam.
  • Observação sobre velocidades nas caixas d’água: vou considerar velocidade nos reservatórios desprezível (áreas grandes), logo suas velocidades-head são nulas.
Resumo de comprimentos efetivos usados:
  • comprimento equivalente sucção L_s = L_{s,phys} + 20 + 2 = 8 + 22 = 30\\ \mathrm{m}.
  • comprimento equivalente recalque L_d = L_{d,phys} +1+1 = 61 +2 = 63\\ \mathrm{m}.
  • as perdas localizadas k_5 e k_8 serão tratadas separadamente como h_k = k\,V^2/(2g).

Passo 2

Calcular áreas, velocidades e números de Reynolds (explico cada fórmula).
Fórmulas e significado:
  • Área de seção: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}, onde D é o diâmetro.
  • Velocidade média no tubo: \displaystyle V=\frac{Q}{A}.
  • Número de Reynolds: \displaystyle Re=\frac{V D}{\nu}; se Re\gtrsim4000 o escoamento é turbulento.
Cálculos:
  • área sucção: A_s=\frac{\pi D_s^2}{4}=\frac{\pi (0{,}10)^2}{4}=0{,}00785398\\ \mathrm{m^2}.
V_s=\frac{Q}{A_s}=\frac{0{,}01}{0{,}00785398}=1{,}27324\\ \mathrm{m/s}.
Re_s=\frac{V_s D_s}{\nu}=\frac{1{,}27324\times0{,}10}{1\times10^{-6}}=127323{,}95.
  • área recalque: A_d=\frac{\pi D_d^2}{4}=\frac{\pi (0{,}0625)^2}{4}=0{,}00306796\\ \mathrm{m^2}.
V_d=\frac{Q}{A_d}=\frac{0{,}01}{0{,}00306796}=3{,}25905\\ \mathrm{m/s}.
Re_d=\frac{V_d D_d}{\nu}=\frac{3{,}25905\times0{,}0625}{1\times10^{-6}}=203687{,}6.
Interpretação: ambos os escoamentos são turbulentos ( Re\gg4000), então a perda por atrito será calculada com a fórmula de Darcy–Weisbach com fator de atrito apropriado.

Passo 3

Calcular os fatores de atrito de Darcy ( f). Vou explicar a ideia e usar uma fórmula explícita prática.
Teoria/idéia:
  • Para perda por atrito em tubulação usamos a fórmula de Darcy–Weisbach: h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},onde f é o fator de atrito (adimensional). Para regime turbulento e tubos rugosos, f satisfaz a equação implícita de Colebrook; uma fórmula explícita amplamente usada é a de Swamee–Jain: f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^2}.Aqui \varepsilon é a rugosidade absoluta, D o diâmetro e Re o número de Reynolds.
Aplicando Swamee–Jain:
  • Para sucção ( D_s=0{,}10\\ \mathrm{m}, Re_s=127324, \varepsilon=4{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}):
    f_s\approx\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{4{,}6\times10^{-5}}{3{,}7\times0{,}10}+\frac{5{,}74}{127323{,}95^{0{,}9}}\right)\right]^2}\approx0{,}01964.
  • Para recalque ( D_d=0{,}0625\\ \mathrm{m}, Re_d=203688):
    f_d\approx\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{4{,}6\times10^{-5}}{3{,}7\times0{,}0625}+\frac{5{,}74}{203687{,}6^{0{,}9}}\right)\right]^2}\approx0{,}02005.
Comentário: ambas as f estão na ordem de 0{,}02, valor típico para aço com esses parâmetros.

Passo 4

Calcular as perdas por atrito (Darcy) em cada trecho.
Fórmula:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}.
Termos necessários: \displaystyle \frac{V^2}{2g} para cada trecho:
  • sucção: \frac{V_s^2}{2g}=\frac{(1{,}27324)^2}{2\times10}=0{,}0810569\\ \mathrm{m}.
  • recalque: \frac{V_d^2}{2g}=\frac{(3{,}25905)^2}{2\times10}=0{,}5312109\\ \mathrm{m}.
L/D:
  • sucção: L_s=30\\ \mathrm{m}, L_s/D_s=30/0{,}10=300.
  • recalque: L_d=63\\ \mathrm{m}, L_d/D_d=63/0{,}0625=1008.
Agora as perdas:
  • sucção: h_{f,s}=f_s\frac{L_s}{D_s}\frac{V_s^2}{2g}=0{,}01964\times300\times0{,}0810569\approx0{,}478\\ \mathrm{m}.
  • recalque: h_{f,d}=f_d\frac{L_d}{D_d}\frac{V_d^2}{2g}=0{,}02005\times1008\times0{,}5312109\approx10{,}74\\ \mathrm{m}.
Somando:
h_{f,total}=h_{f,s}+h_{f,d}\approx0{,}478+10{,}74=11{,}22\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular as perdas localizadas (singularidades com coeficiente k e aquelas dadas em comprimento equivalente já consideradas).
Explicação:
  • Perda localizada com coeficiente k é \displaystyle h_k=k\frac{V^2}{2g}, onde V é a velocidade no trecho onde a singularidade está (aqui V_d para (5) e (8)).
Cálculos:
  • para (5): k_5=10 h_5=k_5\frac{V_d^2}{2g}=10\times0{,}5312109=5{,}3121\\ \mathrm{m}.
  • para (8): k_8=1 h_8=1\times0{,}5312109=0{,}5312\\ \mathrm{m}.
As singularidades (1),(2),(6),(7) já foram convertidas em comprimentos equivalentes e incluídas nas perdas por atrito no Passo 4.
Somando as perdas localizadas:
h_{k,total}=h_5+h_8=5{,}3121+0{,}5312=5{,}8433\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar a carga (altura) que a bomba precisa fornecer e, a partir daí, a potência.
Energia necessária (carga da bomba):
  • Fórmula (energia por unidade de peso): entre a superfície livre do reservatório inferior (ponto 0) e a superfície do reservatório superior (ponto 9), desprezando velocidades nas superfícies: H_{\text{bomba}}=\frac{p_9-p_0}{\gamma}+(z_9-z_0)+h_{f,total}+h_{k,total},onde \frac{p_9-p_0}{\gamma} é a cabeça de pressão, z_9-z_0 a diferença de cota entre as superfícies, e as h as perdas.
Valores:
  • pressão: \displaystyle\frac{p_9-p_0}{\gamma}=\frac{200000\\ \mathrm{Pa}}{10^4\\ \mathrm{N/m^3}}=20\\ \mathrm{m}.
  • diferença de cota entre superfícies (peguei da figura): z_9-z_0=13\\ \mathrm{m} (2 m do nível livre até o eixo da bomba + riser de 10 m + 1 m até a superfície do reservatório).
  • perdas somadas: h_{f,total}+h_{k,total}=11{,}22+5{,}8433=17{,}0633\\ \mathrm{m} (arredondei nos passos anteriores).
Portanto:
H_{\text{bomba}}=20+13+17{,}0633\approx50{,}0633\\ \mathrm{m}.
Potência hidráulica fornecida pela bomba:
  • Potência hidráulica (potência útil ao fluido): P_{\rm hid}=\gamma Q H_{\rm bomba}.
Substituindo:
P_{\rm hid}=10^4\times0{,}01\times50{,}0633=5006{,}33\\ \mathrm{W}\approx5{,}01\\ \mathrm{kW}.
Potência no eixo da bomba considerando rendimento \eta=0{,}70:
P_{\rm eixo}=\frac{P_{\rm hid}}{\eta}=\frac{5006{,}33}{0{,}70}=7151{,}9\\ \mathrm{W}\approx7{,}15\\ \mathrm{kW}.

Resposta

P_{\text{bomba}}=7{,}15\\ \mathrm{kW}

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