(FATEC) Considere três esferas metálicas \mathrm{X}, \mathrm{Y} e Z , de diâmetros iguais. Y e Z estão fixas e distantes uma da outra o suficiente para que os efeitos de indução eletrostática possam ser desprezados. A situação inicial das esferas é a seguinte:
X neutra, Y carregada com carga +Q , e Z carregada com carga - Q. As esferas não trocam cargas elétricas com o ambiente.
Fazendo-se a esfera X tocar primeiro na esfera Y e depois na esfera Z , a carga final de X será igual a:
a) zero (nula)
b) 2 Q / 3
c) -0 / 2
d) Q / 8
e) -Q / 4

Passo 1

O enunciado dá três esferas metálicas X, Y e Z de diâmetros iguais. Informações e pedidos claros:
  • Esfera X está inicialmente neutra: q_X=0.
  • Esfera Y está inicialmente carregada com +Q: q_Y=+Q.
  • Esfera Z está inicialmente carregada com -Q: q_Z=-Q.
  • Y e Z estão fixas e suficientemente distantes para desprezar indução entre elas.
  • Procedimento: faz-se X tocar primeiro em Y e depois em Z. Não há troca de carga com o ambiente (sistema isolado).
  • Pergunta: qual será a carga final de X depois desses contatos?

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicação didática):
  • Conservação da carga: se o sistema é isolado e não há troca com o ambiente, a soma das cargas antes e depois permanece a mesma. Isso significa que quando duas esferas metálicas isoladas se tocam, o total de carga das duas é preservado.
  • Quando dois condutores idênticos (mesmo raio/mesmo diâmetro) entram em contato, as cargas se redistribuem até que os potenciais elétricos de ambos sejam iguais. Para esferas idênticas o potencial de cada uma é proporcional à sua carga (porque V=k\frac{q}{r} e r é o mesmo), então, ao igualar potenciais, as cargas finais ficam iguais.
  • Conclusão útil e prática: ao tocar duas esferas idênticas com cargas q_1 e q_2, após o contato cada uma ficará com
\frac{q_1+q_2}{2}.
Isso é simplesmente a média aritmética das cargas iniciais das duas.

Passo 3

Aplicando a regra ao primeiro contato (quando X toca Y):
  • Antes do contato: q_X=0 e q_Y=+Q.
  • Total de carga das duas: 0 + Q = Q.
  • Como as esferas são idênticas, após o contato cada uma ficará com a metade desse total:
q_{X\\ \text{após 1º contato}} = q_{Y\\ \text{após 1º contato}} = \frac{0 + Q}{2} = \frac{Q}{2}.óºóº
Portanto, imediatamente depois do primeiro contato temos q_X=\dfrac{Q}{2} e q_Y=\dfrac{Q}{2}.

Passo 4

Situação entre os contatos e preparação para o segundo contato:
  • Após o primeiro contato: q_X=\dfrac{Q}{2}, q_Y=\dfrac{Q}{2}.
  • A esfera Z permaneceu isolada e distante, portanto continua com sua carga inicial: q_Z=-Q.
  • Agora X (com \dfrac{Q}{2}) toca Z (com -Q). Aplicamos de novo a mesma regra das esferas idênticas.

Passo 5

Aplicando a regra ao segundo contato (quando X toca Z):
  • Total de carga das duas nessa etapa: \dfrac{Q}{2} + (-Q) = -\dfrac{Q}{2}.
  • Dividindo igualmente entre as duas esferas idênticas:
q_{X\\ \text{final}} = q_{Z\\ \text{final}} = \frac{-\dfrac{Q}{2}}{2} = -\frac{Q}{4}.
Logo, a carga final de X é -\dfrac{Q}{4}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (checar conservação da carga total):
  • Carga total inicial: 0 + Q + (-Q) = 0.
  • Carga total final: q_Y = \dfrac{Q}{2}, q_X = -\dfrac{Q}{4}, q_Z = -\dfrac{Q}{4}. Soma:
\frac{Q}{2} + \left(-\frac{Q}{4}\right) + \left(-\frac{Q}{4}\right) = \frac{Q}{2} - \frac{Q}{2} = 0.
Conservação de carga confirmada. Bom trabalho — o raciocínio está consistente!

Resposta

(e) -\dfrac{Q}{4}

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