Oscilações: um objeto de massa igual 100 g é pendurado em uma mola de constante elástica k, produzindo uma elongação de 3,0 \mathrm{~cm}. Em seguida, um estudante estica a mola em 2,0 \mathrm{~cm} e a solta, observando que a mesma começou a executar um movimento oscilatório.
a) Determine o valor da constante elástica;
b) Escreva a expressão da elongação da mola em função do tempo;
c) Qual é o período de oscilação.

Passo 1

Vamos clarear o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Determinar o valor da constante elástica da mola.
    2. (b) Escrever a expressão da elongação da mola em função do tempo.
    3. (c) Determinar o período de oscilação.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do corpo: \,m=100\\ \mathrm{g}=\;0,100\\ \mathrm{kg}.
    • A massa, pendurada, produz uma elongação estática de \,3{,}0\\ \mathrm{cm}=\;0,030\\ \mathrm{m}. (Vou chamar essa elongação de equilíbrio de \,x_{\mathrm{eq}}=0,030\\ \mathrm{m}.)
    • A partir desse equilíbrio, o estudante puxa a mola mais \,2{,}0\\ \mathrm{cm}=0,020\\ \mathrm{m} e solta, iniciando um movimento oscilatório. (Isso significa que a amplitude da oscilação em relação ao ponto de equilíbrio é \,A=0,020\\ \mathrm{m}.)
    • Uso a aceleração da gravidade \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão se não for dado outro).
A partir daqui vou:
  • usar a condição de equilíbrio para achar \,k;
  • escrever a equação do movimento harmônico e aplicar condições iniciais para achar a expressão temporal da elongação;
  • calcular a frequência angular e o período.

Passo 2

Encontrar a constante elástica \,k usando o equilíbrio estático.
Teoria rápida (Hooke + equilíbrio): a mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional à elongação:
F_{\mathrm{el}} = -k x,
onde \,k é a constante elástica (unidade \mathrm{N/m}) e \,x é a elongação medida a partir do comprimento natural (sinal negativo indica que a força é restauradora).
No equilíbrio estático a força-elástica para cima equilibra o peso para baixo, logo (tomando magnitudes)
k x_{\mathrm{eq}} = m g.
Isolando \,k:
k = \frac{m g}{x_{\mathrm{eq}}}.
Agora substituo os números (tudo em unidades SI):
k = \frac{0,100\cdot 9{,}8}{0,030} = \frac{0{,}98}{0{,}030}.
Faço a divisão:
k \approx 32{,}666\ldots\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas),
k \approx 32{,}7\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Equação do movimento e forma da solução (SHM).
Teoria: para uma massa presa a uma mola (movimento vertical com pequenas oscilações), se medirmos o deslocamento y(t) a partir do ponto de equilíbrio estático ( y=0 no equilíbrio), a equação do movimento é a equação do oscilador harmônico simples:
m\,\ddot{y}+k\,y=0,
onde \ddot{y} é a segunda derivada temporal (aceleração). A solução geral é combinação de cosseno e seno; a forma mais prática:
y(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
com
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
(e \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s}).
Condição inicial: o estudante estica a mola mais 0,020\\ \mathrm{m} a partir do equilíbrio e solta a partir do repouso. Tomando t=0 no instante de soltura:
  • deslocamento inicial em relação ao equilíbrio: y(0)=A=0,020\\ \mathrm{m},
  • velocidade inicial: \dot{y}(0)=0.
Para essas condições a fase \varphi=0 e a solução simplifica para
y(t)=A\cos(\omega t).
Se o enunciado pede a elongação da mola em função do tempo medida a partir do comprimento natural (não apenas em relação ao equilíbrio), a elongação total é:
x_{\text{total}}(t)=x_{\mathrm{eq}}+y(t).

Passo 4

Calcular a frequência angular \omega e escrever explicitamente y(t) e x_{\text{total}}(t).
Primeiro calculemos \omega:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{32{,}666\ldots}{0{,}100}}=\sqrt{326{,}666\ldots}.
Raiz quadrada:
\omega \approx 18{,}09\\ \mathrm{rad/s}.
Agora escrevemos as expressões com os valores numéricos:
  • deslocamento relativo ao equilíbrio:
y(t)=0{,}020\cos\bigl(18{,}09\,t\bigr)\quad(\text{em metros}),
onde t está em segundos e o sinal positivo indica alongamento para baixo se essa for a convenção.
  • elongação total medida a partir do comprimento natural da mola:
x_{\text{total}}(t)=0{,}030+0{,}020\cos\bigl(18{,}09\,t\bigr)\quad(\text{em metros}).

Passo 5

Calcular o período de oscilação T.
Fórmula do período para o oscilador massa-mola:
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Substituindo valores:
T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}100}{32{,}666\ldots}}.
Faço a conta:
\sqrt{\frac{0{,}100}{32{,}666\ldots}}=\sqrt{0{,}0030588\ldots}\approx 0{,}05531,
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T \approx 2\pi\cdot 0{,}05531 \approx 0{,}3475\\ \mathrm{s}.
Arredondando,
T \approx 0{,}348\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resumo físico e verificação rápida (pequena revisão para fixar):
  • A constante elástica vem do equilíbrio peso = força elástica.
  • A oscilação é harmônica simples com amplitude igual ao deslocamento extra que o estudante deu ( 0{,}02\\ \mathrm{m}).
  • A frequência angular depende só de k e m por \omega=\sqrt{k/m}. O período é curto ( \approx 0{,}35\\ \mathrm{s}), ou seja, oscilações rápidas.
Vai dar tudo certo na prova — respira, refaça esses passos devagar uma vez e vai entrar no sangue! 😉

Resposta

(a) k \approx 32{,}7\\ \mathrm{N/m}
(b) y(t)=0{,}020\cos\bigl(18{,}09\,t\bigr) (elongação medida a partir do ponto de equilíbrio)
(b) alternativa (elongação a partir do comprimento natural): x_{\text{total}}(t)=0{,}030+0{,}020\cos\bigl(18{,}09\,t\bigr)
(c) T \approx 0{,}348\\ \mathrm{s}

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