Oscilações: um objeto de massa igual 100 g é pendurado em uma mola de constante elástica k, produzindo uma elongação de
. Em seguida, um estudante estica a mola em
e a solta, observando que a mesma começou a executar um movimento oscilatório.
a) Determine o valor da constante elástica;
b) Escreva a expressão da elongação da mola em função do tempo;
c) Qual é o período de oscilação.
a) Determine o valor da constante elástica;
b) Escreva a expressão da elongação da mola em função do tempo;
c) Qual é o período de oscilação.
Passo 1
Vamos clarear o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Determinar o valor da constante elástica da mola.
- (b) Escrever a expressão da elongação da mola em função do tempo.
- (c) Determinar o período de oscilação.
-
Dados fornecidos:
- Massa do corpo:
. - A massa, pendurada, produz uma elongação estática de
. (Vou chamar essa elongação de equilíbrio de .) - A partir desse equilíbrio, o estudante puxa a mola mais
e solta, iniciando um movimento oscilatório. (Isso significa que a amplitude da oscilação em relação ao ponto de equilíbrio é .) - Uso a aceleração da gravidade
(valor padrão se não for dado outro).
- Massa do corpo:
A partir daqui vou:
- usar a condição de equilíbrio para achar
; - escrever a equação do movimento harmônico e aplicar condições iniciais para achar a expressão temporal da elongação;
- calcular a frequência angular e o período.
Passo 2
Encontrar a constante elástica
usando o equilíbrio estático.
Teoria rápida (Hooke + equilíbrio): a mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional à elongação:
onde
é a constante elástica (unidade
) e
é a elongação medida a partir do comprimento natural (sinal negativo indica que a força é restauradora).
No equilíbrio estático a força-elástica para cima equilibra o peso para baixo, logo (tomando magnitudes)
Isolando
:
Agora substituo os números (tudo em unidades SI):
Faço a divisão:
Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas),
Passo 3
Equação do movimento e forma da solução (SHM).
Teoria: para uma massa presa a uma mola (movimento vertical com pequenas oscilações), se medirmos o deslocamento
a partir do ponto de equilíbrio estático (
no equilíbrio), a equação do movimento é a equação do oscilador harmônico simples:
onde
é a segunda derivada temporal (aceleração). A solução geral é combinação de cosseno e seno; a forma mais prática:
com
(e
é a frequência angular em
).
Condição inicial: o estudante estica a mola mais
a partir do equilíbrio e solta a partir do repouso. Tomando
no instante de soltura:
- deslocamento inicial em relação ao equilíbrio:
, - velocidade inicial:
.
Para essas condições a fase
e a solução simplifica para
Se o enunciado pede a elongação da mola em função do tempo medida a partir do comprimento natural (não apenas em relação ao equilíbrio), a elongação total é:
Passo 4
Calcular a frequência angular
e escrever explicitamente
e
.
Primeiro calculemos
:
Raiz quadrada:
Agora escrevemos as expressões com os valores numéricos:
- deslocamento relativo ao equilíbrio:
onde
está em segundos e o sinal positivo indica alongamento para baixo se essa for a convenção.
- elongação total medida a partir do comprimento natural da mola:
Passo 5
Calcular o período de oscilação
.
Fórmula do período para o oscilador massa-mola:
Substituindo valores:
Faço a conta:
logo
Arredondando,
Passo 6
Resumo físico e verificação rápida (pequena revisão para fixar):
- A constante elástica vem do equilíbrio peso = força elástica.
- A oscilação é harmônica simples com amplitude igual ao deslocamento extra que o estudante deu (
). - A frequência angular depende só de
e por . O período é curto ( ), ou seja, oscilações rápidas.
Vai dar tudo certo na prova — respira, refaça esses passos devagar uma vez e vai entrar no sangue! 😉
Resposta
(a)
(b)
(elongação medida a partir do ponto de equilíbrio)
(b) alternativa (elongação a partir do comprimento natural):
(c)