Uma fatia de queijo, modelada como cilindro de 3 cm de diâmetro e 1,6 cm de altura; é exposta à salmoura. Uma das faces de diâmetro 3 cm é selada. Durante a salga, o sal exterior difunde-se para o interior do sólido, o qual não perde água. A superfície do cilindro é mantida com porcentagem mássica de sal de
em peso. A porcentagem mássica inicial de sal no queijo é
. A difusividade do sal no sólido é
. A salga ocorre durante 42 h . A resistência à transferência de massa se deve à difusão do sal no sólido.
Considerando a salga do mesmo sólido mencionado, durante 9 h , a partir das respostas elaboradas no item a, apresente as devidas considerações, explique teoricamente o procedimento matemático para obtenção da equação a ser usada e calcule porcentagem mássica média da placa após a salga. Apresente o(s) diagrama(s) utilizado(s) e as marcações adotadas.
Considerando a salga do mesmo sólido mencionado, durante 9 h , a partir das respostas elaboradas no item a, apresente as devidas considerações, explique teoricamente o procedimento matemático para obtenção da equação a ser usada e calcule porcentagem mássica média da placa após a salga. Apresente o(s) diagrama(s) utilizado(s) e as marcações adotadas.
Passo 1
Beleza, vamos simplificar o que rolou no enunciado. A gente tem uma “fatia” de queijo em forma de cilindro (diâmetro 3 cm → raio R=1,5 cm; altura L=1,6 cm), inicialmente com 2 % de sal em peso. Ela é colocada numa salmoura que garante 18 % de sal na superfície o tempo todo. O sal entra só por difusão (difusividade D=1,6×10⁻⁵ cm²/s), e durante 9 h fica pingando sal na casca do queijo.
Conteúdo/matéria: difusão transiente em sólidos, solução por separação de variáveis em coordenadas cilíndricas e média de concentração. Vamos usar a equação padrão para a fração de sal média num cilindro exposto a concentração de superfície constante.
Passo 2
Para resolver a gente assume:
- Concentração no sólido C(r,t) só varia radialmente (aproximação 1D radial) – praticidade habitual quando R≈L.
- Condição de contorno: C(r=R,t)=C_s=18 %, C(r,0)=C_i=2 %.
- Solução em série (Crank, Bird et al.) dá a fração adimensional da média:
onde α_m são as raízes de J₀(α)=0 (função de Bessel de 1ª espécie, ordem zero).
Passo 3
Pra ficar simples, vamos ficar só no primeiro termo (m=1):
- α₁≈2,405
- J₁(α₁)≈0,5191
- Tempo t=9 h = 9×3600 s = 32 400 s
- R=1,5 cm →
.
Então o termo exponencial:
E o coeficiente na frente:
Passo 4
Agora montamos a fração adimensional aproximada:
Desfazendo a normalização:
ou seja 7,22 % de sal em peso.
Resposta
A porcentagem mássica média de sal na placa após 9 h de salga é de aproximadamente 7,2 %.