Uma fatia de queijo, modelada como cilindro de 3 cm de diâmetro e 1,6 cm de altura; é exposta à salmoura. Uma das faces de diâmetro 3 cm é selada. Durante a salga, o sal exterior difunde-se para o interior do sólido, o qual não perde água. A superfície do cilindro é mantida com porcentagem mássica de sal de 18% em peso. A porcentagem mássica inicial de sal no queijo é 2%. A difusividade do sal no sólido é 1,6 times 10^-5 cm^2 / s. A salga ocorre durante 42 h . A resistência à transferência de massa se deve à difusão do sal no sólido.
Considerando a salga do mesmo sólido mencionado, durante 9 h , a partir das respostas elaboradas no item a, apresente as devidas considerações, explique teoricamente o procedimento matemático para obtenção da equação a ser usada e calcule porcentagem mássica média da placa após a salga. Apresente o(s) diagrama(s) utilizado(s) e as marcações adotadas.

Passo 1

Beleza, vamos simplificar o que rolou no enunciado. A gente tem uma “fatia” de queijo em forma de cilindro (diâmetro 3 cm → raio R=1,5 cm; altura L=1,6 cm), inicialmente com 2 % de sal em peso. Ela é colocada numa salmoura que garante 18 % de sal na superfície o tempo todo. O sal entra só por difusão (difusividade D=1,6×10⁻⁵ cm²/s), e durante 9 h fica pingando sal na casca do queijo.
Conteúdo/matéria: difusão transiente em sólidos, solução por separação de variáveis em coordenadas cilíndricas e média de concentração. Vamos usar a equação padrão para a fração de sal média num cilindro exposto a concentração de superfície constante.

Passo 2

Para resolver a gente assume:
  1. Concentração no sólido C(r,t) só varia radialmente (aproximação 1D radial) – praticidade habitual quando R≈L.
  2. Condição de contorno: C(r=R,t)=C_s=18 %, C(r,0)=C_i=2 %.
  3. Solução em série (Crank, Bird et al.) dá a fração adimensional da média:
bar C(t)-CiCs-Ci =1-summ=1^infty 4alpham^2,J1(alpham)^2 exp!l(-,alpham^2,D,tR^2r)
onde α_m são as raízes de J₀(α)=0 (função de Bessel de 1ª espécie, ordem zero).

Passo 3

Pra ficar simples, vamos ficar só no primeiro termo (m=1):
  • α₁≈2,405
  • J₁(α₁)≈0,5191
  • Tempo t=9 h = 9×3600 s = 32 400 s
  • R=1,5 cm →
    exp!l(-alpha1^2,D,tR^2r) =exp!l(-2,405^2times0,2304r) approxexp(-1,334)approx0,263 .
Então o termo exponencial:
4alpha1^2,J1(alpha1)^2 =4(2,405)^2,(0,5191)^2 approx2,565
E o coeficiente na frente:

Passo 4

Agora montamos a fração adimensional aproximada:
bar C(t)-CiCs-Ci approx 1 - 2,565times0,263 =1 - 0,674 =0,326
Desfazendo a normalização:
bar C(t) = Ci ;+;(Cs-Ci)times0,326 =0,02 ;+;(0,18-0,02)times0,326 =0,02 + 0,16times0,326 approx0,0722
ou seja 7,22 % de sal em peso.

Resposta

A porcentagem mássica média de sal na placa após 9 h de salga é de aproximadamente 7,2 %.

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