Fatoraçāo de equações do segundo grau: Calcule os limites abaixo. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-1}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
A expressão a ser limitada é \dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}.
O ponto no qual o limite é tomado é x\to 1.
Passo 2
Primeira checagem direta: tentar substituir x=1 na expressão para ver se já dá um valor definido.
Calcular o numerador em x=1:
1^{2}-3\cdot1+2 = 1-3+2 = 0.
Calcular o denominador em x=1:
1^{2}-1 = 1-1 = 0.
Como obtemos 0/0, a forma é indeterminada. Quando aparece 0/0 costuma-se tentar simplificar a expressão (fatorando e cancelando fatores comuns) antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador. Para fatorar quadráticos do tipo x^{2}+bx+c uma técnica simples é encontrar dois números cujo produto seja c e cuja soma seja b.
Numerador: x^{2}-3x+2.
Procuramos dois números com produto 2 e soma -3: são -1 e -2. Portanto
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Denominador: x^{2}-1 é uma diferença de quadrados, que fatoriza como
Comentário didático: cancelar fatores é permitido porque o limite só se preocupa com valores de x próximos de 1, mas não necessariamente iguais a 1. Assim, trabalhar com a função simplificada para x\neq1 é legítimo para calcular o limite.
Passo 5
Agora que temos a expressão simplificada \dfrac{x-2}{x+1}, esta é uma função racional contínua no ponto x=1 (pois o denominador em x=1 é 1+1\neq 0). Para funções contínuas, o limite ao ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Então substituímos x=1 diretamente:
\frac{x-2}{x+1}\bigg|_{x=1}=\frac{1-2}{1+1}.
Passo 6
Avaliar a fração obtida:
\frac{1-2}{1+1}=\frac{-1}{2}.
Ou seja, o valor numérico do limite é -\tfrac{1}{2}.