Técnicas mistas: Calcule os limites abaixo usando as diferentes técnicas de fatoraçāo.
\lim_{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é \dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}.
  • O ponto para o qual x tende é x=4.
  • Ao substituir x=4 diretamente, o numerador vale \sqrt[3]{4}-2 e o denominador vale 4-8=-4. Essas são as informações numéricas que temos imediatamente.

Passo 2

Escolha do método: como aparece uma raiz cúbica \sqrt[3]{x} e há uma diferença entre um cubo ( x) e 8=2^3 no denominador, uma técnica muito natural é usar a fatoração da diferença de cubos. Vou explicar essa fórmula e por que ela serve aqui.
Fórmula de diferença de cubos (essa é a ferramenta):
a^3-b^3=(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr).
Explicando a fórmula e as variáveis:
  • Aqui a e b são números quaisquer.
  • A fórmula diz que a diferença entre dois cubos pode ser escrita como o produto da diferença das bases (a-b) pela soma dos quadrados e produtos (a^2+ab+b^2).
    Breve verificação (multiplicando para convencer): multiplicando (a-b)(a^2+ab+b^2) obtém-se a^3 - b^3 (expandir e ver que os termos se cancelam adequadamente).
No nosso problema podemos reconhecer x-8 como uma diferença de cubos, pois x=(\sqrt[3]{x})^3 e 8=2^3. Logo a fatoração acima é aplicável com a=\sqrt[3]{x} e b=2.

Passo 3

Fazer a substituição para tornar a fatoração explícita. Defina
t=\sqrt[3]{x},
então x=t^3. Quando x\to4, temos t\to\sqrt[3]{4}.
Reescrevendo a fração em função de t:
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}=\frac{t-2}{t^3-8}.
Agora aplicamos a fatoração da diferença de cubos ao denominador t^3-8=t^3-2^3:
t^3-8=(t-2)\bigl(t^2+2t+4\bigr).

Passo 4

Cancelar o fator comum (t-2) (válido para t\neq2; a identidade é algébrica):
\frac{t-2}{t^3-8}=\frac{t-2}{(t-2)\bigl(t^2+2t+4\bigr)}=\frac{1}{t^2+2t+4}\qquad(\text{para }t\neq2).
Agora aplicamos o limite usando t\to\sqrt[3]{4}:
\lim_{x\to4}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}=\lim_{t\to\sqrt[3]{4}}\frac{1}{t^2+2t+4}=\frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^2+2\sqrt[3]{4}+4}.
Observação prática (forma alternativa, útil na prova): como no ponto de interesse vale t^3=4, pode-se verificar que a expressão anterior é equivalente à forma
\frac{2-\sqrt[3]{4}}{4},
o que pode ser mais compacto ao escrever a resposta. (A equivalência é verificada substituindo t=\sqrt[3]{4} e usando 8-t^3=4, por exemplo.)

Passo 5

Recapitulando de maneira calma: transformei a variável para expor uma diferença de cubos, fatorizei o denominador, cancelei o fator comum e substituí o valor limite de t. Esse procedimento evita manipulações numéricas desnecessárias e é uma técnica padrão quando aparecem raízes cúbicas e diferenças de cubos.
Você está indo bem — essa fatoração é uma das ferramentas que salva tempo em prova quando surge \sqrt[3]{x} junto com x-8.

Resposta

\dfrac{2-\sqrt[3]{4}}{4}

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