Técnicas mistas: Calcule os limites abaixo usando as diferentes técnicas de fatoraçāo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é
. - O ponto para o qual
tende é . - Ao substituir
diretamente, o numerador vale e o denominador vale . Essas são as informações numéricas que temos imediatamente.
Passo 2
Escolha do método: como aparece uma raiz cúbica
e há uma diferença entre um cubo (
) e
no denominador, uma técnica muito natural é usar a fatoração da diferença de cubos. Vou explicar essa fórmula e por que ela serve aqui.
Fórmula de diferença de cubos (essa é a ferramenta):
Explicando a fórmula e as variáveis:
- Aqui
e são números quaisquer. - A fórmula diz que a diferença entre dois cubos pode ser escrita como o produto da diferença das bases
pela soma dos quadrados e produtos .
Breve verificação (multiplicando para convencer): multiplicandoobtém-se (expandir e ver que os termos se cancelam adequadamente).
No nosso problema podemos reconhecer
como uma diferença de cubos, pois
e
. Logo a fatoração acima é aplicável com
e
.
Passo 3
Fazer a substituição para tornar a fatoração explícita. Defina
então
. Quando
, temos
.
Reescrevendo a fração em função de
:
Agora aplicamos a fatoração da diferença de cubos ao denominador
:
Passo 4
Cancelar o fator comum
(válido para
; a identidade é algébrica):
Agora aplicamos o limite usando
:
Observação prática (forma alternativa, útil na prova): como no ponto de interesse vale
, pode-se verificar que a expressão anterior é equivalente à forma
o que pode ser mais compacto ao escrever a resposta. (A equivalência é verificada substituindo
e usando
, por exemplo.)
Passo 5
Recapitulando de maneira calma: transformei a variável para expor uma diferença de cubos, fatorizei o denominador, cancelei o fator comum e substituí o valor limite de
. Esse procedimento evita manipulações numéricas desnecessárias e é uma técnica padrão quando aparecem raízes cúbicas e diferenças de cubos.
Você está indo bem — essa fatoração é uma das ferramentas que salva tempo em prova quando surge
junto com
.