Fatoração de equações do segundo grau: Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-5x+6}{x-2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio \,x^{2}-5x+6, e o denominador é \,x-2.
  • Se eu substituo x=2 diretamente na expressão, o numerador vira 2^{2}-5\cdot2+6=4-10+6=0 e o denominador vira 2-2=0. Logo a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, o que indica que preciso manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador \,x^{2}-5x+6. Aqui a ideia é escrever o quadrático como produto de dois binômios do tipo (x-a)(x-b). Para isso procuro dois números cuja multiplicação seja o termo independente 6 e cuja soma seja o coeficiente de x, que é -5.
  • Os pares que multiplicam para 6 são (1,6), (2,3) e seus sinais. Para obter soma -5 preciso de -2 e -3, pois (-2)\cdot(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5.
Portanto:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 3

Substituo a fatoração no numerador da fração:
\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}.
Agora é possível simplificar o fator comum (x-2), lembrando que essa simplificação é válida para x\neq2. Após cancelar, a expressão equivalente para x\neq2 fica:
\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3,\qquad \text{para }x\neq2.
Observação didática: o limite quando x\to2 depende do comportamento da função em valores próximos de 2, não apenas do valor em 2. Como a expressão original coincide com x-3 para todos os x\neq2, para calcular o limite posso usar a função simplificada x-3.

Passo 4

A função x-3 é contínua em todo ponto, portanto posso avaliar o limite substituindo x=2 na expressão simplificada:
\lim_{x\to2} \frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\lim_{x\to2}(x-3)=2-3=-1.
Passo extra (verificação alternativa, opcional): usando a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador,
\frac{d}{dx}(x^{2}-5x+6)=2x-5,\qquad \frac{d}{dx}(x-2)=1,
então a regra dá \lim_{x\to2}\dfrac{2x-5}{1}=2\cdot2-5=-1, que confirma o resultado anterior.

Resposta

-1

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