Fatoração de equações do segundo grau: Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio
, e o denominador é . - Se eu substituo
diretamente na expressão, o numerador vira e o denominador vira . Logo a substituição direta dá a forma indeterminada , o que indica que preciso manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador
. Aqui a ideia é escrever o quadrático como produto de dois binômios do tipo
. Para isso procuro dois números cuja multiplicação seja o termo independente
e cuja soma seja o coeficiente de
, que é
.
- Os pares que multiplicam para
são , e seus sinais. Para obter soma preciso de e , pois e .
Portanto:
Passo 3
Substituo a fatoração no numerador da fração:
Agora é possível simplificar o fator comum
, lembrando que essa simplificação é válida para
. Após cancelar, a expressão equivalente para
fica:
Observação didática: o limite quando
depende do comportamento da função em valores próximos de
, não apenas do valor em
. Como a expressão original coincide com
para todos os
, para calcular o limite posso usar a função simplificada
.
Passo 4
A função
é contínua em todo ponto, portanto posso avaliar o limite substituindo
na expressão simplificada:
Passo extra (verificação alternativa, opcional): usando a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador,
então a regra dá
, que confirma o resultado anterior.