Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é definida pelo valor absoluto de uma expressão linear
. - Não há restrições explícitas (como raízes no denominador ou logaritmos) no enunciado.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (uma mini-aula): o valor absoluto de um número
Aqui
. Aplicando essa definição à nossa função, vamos dividir o estudo em dois casos conforme o sinal de
.]
Passo 3
Domínio (passo a passo): para saber o domínio de
verificamos onde a expressão
está bem definida. Como
é um polinômio (uma função linear), ela está definida para todo
. O valor absoluto não introduz restrição extra. Portanto:
- O domínio é todos os números reais.
Passo 4
Encontrar o ponto onde a expressão dentro do módulo troca de sinal (zero do argumento): resolvemos
Subtraindo
e dividindo por
,
Esse ponto é importante porque é onde
muda da forma
para
. Também é o ponto em que a função pode atingir valor zero.
Passo 5
Escrever a função em forma de pedaços (piecewise), usando a definição do valor absoluto: usando os casos do Passo 2 com
Observação: em
, então a função está bem definida aí.]
Passo 6
Interpretar geometricamente cada ramo (mini-aula sobre reta e coeficiente angular):
- Para
: é uma reta de coeficiente angular (inclinação) . Isso significa que, ao aumentar em , aumenta em . - Para
: é uma reta de coeficiente angular . Isso significa que, ao aumentar em , diminui em .
Ponto importante (vértice da “V”): em
temos
. Esse é o ponto de mínimo da função (menor valor que a função atinge).
Passo 7
Calcular alguns pontos para ajudar no esboço (exemplos concretos):
-
dá (ponto de mudança). -
pertence ao ramo , então . -
dá . -
pertence ao ramo , então (ou usando a fórmula: ).
Esses pontos confirmam a forma em V simétrica em relação ao eixo vertical do vértice (nem exatamente simétrica em relação a-axis, mas sim com mesmas inclinações de magnitude 2 nos dois lados).
Passo 8
Comportamento para grandes valores de
(tendência):
- Quando
, cresce para . - Quando
, também tende para .
Ou seja, a função tem um mínimo global eme cresce linearmente para dos dois lados.
Passo 9
Continuidade e derivabilidade (noções úteis para a prova):
- A função é contínua em todo
porque é composta por retas que coincidem no ponto . - A derivada lateral à esquerda em
é e à direita é . Como essas derivadas laterais são diferentes, não é diferenciável em (há um “canto” ou cusp).
Passo 10
Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova):
- Marcar o ponto
no eixo e colocar o vértice . - A partir do vértice traçar para a direita a reta com inclinação
: passe pelos pontos e . - A partir do vértice traçar para a esquerda a reta com inclinação
: passe pelos pontos e . - Marcar o eixo
interceptando em . O formato resultante é um V com vértice em .
Resposta
Domínio: [\mathbb{R})
Gráfico:
V-ângulo com vértice em
(à esquerda) e
(à direita).]