Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
F(x)=|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função F dada por
F(x)=|2x+1|.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é definida pelo valor absoluto de uma expressão linear 2x+1.
  • Não há restrições explícitas (como raízes no denominador ou logaritmos) no enunciado.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (uma mini-aula): o valor absoluto de um número y\), escrito \(|y|\), é a distância de \(y\) até zero na reta numérica. Em termos algébricos: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui y\] pode ser qualquer expressão, por exemplo \(y=2x+1. Aplicando essa definição à nossa função, vamos dividir o estudo em dois casos conforme o sinal de 2x+1.]

Passo 3

Domínio (passo a passo): para saber o domínio de F(x)=|2x+1| verificamos onde a expressão 2x+1 está bem definida. Como 2x+1 é um polinômio (uma função linear), ela está definida para todo x\in\mathbb{R}. O valor absoluto não introduz restrição extra. Portanto:
  • O domínio é todos os números reais.

Passo 4

Encontrar o ponto onde a expressão dentro do módulo troca de sinal (zero do argumento): resolvemos
2x+1=0.
Subtraindo 1 e dividindo por 2,
x=-\tfrac{1}{2}.
Esse ponto é importante porque é onde |2x+1| muda da forma (2x+1) para -(2x+1). Também é o ponto em que a função pode atingir valor zero.

Passo 5

Escrever a função em forma de pedaços (piecewise), usando a definição do valor absoluto: usando os casos do Passo 2 com y=2x+1\), \[F(x)= \begin{cases} 2x+1, & \text{se } 2x+1\ge 0 \quad(\text{i.e. } x\ge -\tfrac{1}{2}),\\[6pt] -(2x+1)= -2x-1, & \text{se } 2x+1<0 \quad(\text{i.e. } x< -\tfrac{1}{2}). \end{cases}
Observação: em x=-\tfrac{1}{2}\] ambas as expressões valem \(0, então a função está bem definida aí.]

Passo 6

Interpretar geometricamente cada ramo (mini-aula sobre reta e coeficiente angular):
  • Para x\ge -\tfrac{1}{2}: F(x)=2x+1 é uma reta de coeficiente angular (inclinação) 2. Isso significa que, ao aumentar x em 1, F(x) aumenta em 2.
  • Para x< -\tfrac{1}{2}: F(x)=-2x-1 é uma reta de coeficiente angular -2. Isso significa que, ao aumentar x em 1, F(x) diminui em 2.
Ponto importante (vértice da “V”): em x=-\tfrac{1}{2} temos F(-\tfrac{1}{2})=0. Esse é o ponto de mínimo da função (menor valor que a função atinge).

Passo 7

Calcular alguns pontos para ajudar no esboço (exemplos concretos):
  • x=-\tfrac{1}{2} F(-\tfrac{1}{2})=0 (ponto de mudança).
  • x=0 pertence ao ramo x\ge -\tfrac{1}{2}, então F(0)=2\cdot0+1=1.
  • x=1 F(1)=2\cdot1+1=3.
  • x=-1 pertence ao ramo x< -\tfrac{1}{2}, então F(-1)=|-2+1|=1 (ou usando a fórmula: -2(-1)-1=1).
    Esses pontos confirmam a forma em V simétrica em relação ao eixo vertical do vértice (nem exatamente simétrica em relação a y-axis, mas sim com mesmas inclinações de magnitude 2 nos dois lados).

Passo 8

Comportamento para grandes valores de x (tendência):
  • Quando x\to+\infty, F(x)\sim 2x cresce para +\infty.
  • Quando x\to-\infty, F(x)\sim -2x também tende para +\infty.
    Ou seja, a função tem um mínimo global em x=-\tfrac{1}{2} e cresce linearmente para +\infty dos dois lados.

Passo 9

Continuidade e derivabilidade (noções úteis para a prova):
  • A função é contínua em todo \mathbb{R} porque é composta por retas que coincidem no ponto x=-\tfrac{1}{2}.
  • A derivada lateral à esquerda em x=-\tfrac{1}{2} é -2 e à direita é 2. Como essas derivadas laterais são diferentes, F não é diferenciável em x=-\tfrac{1}{2} (há um “canto” ou cusp).

Passo 10

Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova):
  1. Marcar o ponto x=-\tfrac{1}{2} no eixo x e colocar o vértice \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr).
  2. A partir do vértice traçar para a direita a reta com inclinação 2: passe pelos pontos (0,1) e (1,3).
  3. A partir do vértice traçar para a esquerda a reta com inclinação -2: passe pelos pontos (-1,1) e (-2,3).
  4. Marcar o eixo y interceptando em (0,1). O formato resultante é um V com vértice em \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr).

Resposta

Domínio: [\mathbb{R})
Gráfico: F(x)= \begin{cases} -2x-1, & x< -\tfrac{1}{2},\\[4pt] 2x+1, & x\ge -\tfrac{1}{2}, \end{cases}
V-ângulo com vértice em \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr)\], ramos com inclinações \(-2 (à esquerda) e 2 (à direita).]

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