A fatoração de um trinômio do segundo grau
na forma
pode ser muito útil na simplificação de algumas expressões. Verifique que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar que a fração
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar a fatoração de polinômios do segundo grau e simplificar expressões algébricas. Basicamente, vamos quebrar o trinômio no numerador em fatores mais simples e ver se conseguimos chegar na expressão do lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador da fração, que é o polinômio do segundo grau
. Para fatorar, procuramos dois números que, multiplicados, dão
(o termo constante) e, somados, dão
(o coeficiente de
).
Os números que satisfazem isso são
e
, porque:
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, substituímos o numerador fatorado na fração original:
Observamos que não há fatores comuns entre o numerador e o denominador que possamos cancelar diretamente. Então, vamos simplificar a fração.
Passo 4
Vamos separar a fração em duas partes para facilitar:
Mas isso não nos leva diretamente a
. Então, talvez esse caminho não seja o mais eficiente. Vamos tentar outra abordagem usando divisão polinomial.
Passo 5
Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Fazendo a divisão:
- Dividimos
por , o que dá . - Multiplicamos o divisor
por , obtendo . - Subtraímos isso do numerador:
Então, a fração fica:
Isso não parece nos ajudar a chegar em
, indicando que talvez a igualdade dada não seja verdadeira para todos os valores de
.
Resposta
Após verificar os passos, percebemos que
não é igual a
para todos os valores de
. Portanto, a igualdade proposta não é válida de maneira geral.