A fatoração de um trinômio do segundo grau a x^2+b x+c na forma a(x-x1)(x-x2) pode ser muito útil na simplificação de algumas expressões. Verifique que:
x^2-2 x-3x(x+3)=1+1x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar que a fração x^2 - 2x - 3x(x + 3) é igual a 1 + 1x. Para resolver isso, vamos usar a fatoração de polinômios do segundo grau e simplificar expressões algébricas. Basicamente, vamos quebrar o trinômio no numerador em fatores mais simples e ver se conseguimos chegar na expressão do lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador da fração, que é o polinômio do segundo grau x^2 - 2x - 3. Para fatorar, procuramos dois números que, multiplicados, dão -3 (o termo constante) e, somados, dão -2 (o coeficiente de x).
Os números que satisfazem isso são -3 e 1, porque:
-3 times 1 = -3 e -3 + 1 = -2
Então, podemos escrever:
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Passo 3

Agora, substituímos o numerador fatorado na fração original:
x^2 - 2x - 3x(x + 3) = (x - 3)(x + 1)x(x + 3)
Observamos que não há fatores comuns entre o numerador e o denominador que possamos cancelar diretamente. Então, vamos simplificar a fração.

Passo 4

Vamos separar a fração em duas partes para facilitar:
(x - 3)(x + 1)x(x + 3) = x - 3x + 3 times x + 1x
Mas isso não nos leva diretamente a 1 + 1x. Então, talvez esse caminho não seja o mais eficiente. Vamos tentar outra abordagem usando divisão polinomial.

Passo 5

Vamos dividir o numerador pelo denominador:
x^2 - 2x - 3x(x + 3) = x^2 - 2x - 3x^2 + 3x
Fazendo a divisão:
  1. Dividimos x^2 por x^2, o que dá 1.
  2. Multiplicamos o divisor x^2 + 3x por 1, obtendo x^2 + 3x.
  3. Subtraímos isso do numerador: (x^2 - 2x - 3) - (x^2 + 3x) = -5x - 3
Então, a fração fica:
1 + -5x - 3x^2 + 3x
Isso não parece nos ajudar a chegar em 1 + 1x, indicando que talvez a igualdade dada não seja verdadeira para todos os valores de x.

Resposta

Após verificar os passos, percebemos que x^2 - 2x - 3x(x + 3) não é igual a 1 + 1x para todos os valores de x. Portanto, a igualdade proposta não é válida de maneira geral.

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