Questão 1.
Considere as seguintes afirmações:
I) Seja f definida em [0, infty). A transformada de Laplace de f é uma função que pode ser denotada e dada por
Lf(t)=g(s)=widehatf(s)=F(s)=integral0^infty e^-s t f(t) d t
II) A transformada de Laplace é muito importante e serve para derivar funções.
III) Se f for de classe C^2 em [0, infty) e se f e f^prime forem de ordem exponencial gamma, então
Lf^prime prime(t)=s^2 widehatf(s)-s f(0)-f^prime(0)
IV) A transformada de Laplace da função f(t)=e^2 t cos (3 t) é:
Le^2 t cos (3 t)=s-2(s-2)^2+9
A lista completa de afirmações corretas é:
( ) I, III e IV
( ) III e IV
( ) I, II e III
( ) I e III

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre a transformada de Laplace, pedindo para identificar quais estão corretas: a definição (I), uma propriedade sobre derivar funções (II), a fórmula da transformada de segunda derivada (III) e a transformada de e^{2t}
cos(3t) (IV). Vamos usar a teoria básica da transformada de Laplace para checar cada uma.

Passo 2

A afirmação I dá a definição clássica da transformada de Laplace de uma função f em [0,∞):
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Isso está correto, pois coincide com a definição que vimos na teoria.

Passo 3

A afirmação II diz que a transformada de Laplace “serve para derivar funções”, o que não faz sentido: ela é usada para transformar equações diferenciais em algébricas, não para derivar funções no sentido de cálculo. Logo, II é falsa.
A afirmação III apresenta a propriedade para segunda derivada:
Lf''(t)(s)=s^2widehat f(s)-s f(0)-f'(0),
que também está correta segundo as tabelas de propriedades.

Passo 4

A afirmação IV afirma que
Le^2tcos(3t)(s)=s-2(s-2)^2+9
Isso bate com a fórmula geral Le^atcos(bt)(s)=(s-a)/[(s-a)^2+b^2]. Portanto IV é verdadeira.
Somando, as afirmações corretas são I, III e IV.

Resposta

I, III e IV

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