Questão 5: Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O problema é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Precisamos: (a) achar a solução complementar pela equação característica, (b) obter uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar e © usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Para a parte complementar, escrevemos a equação característica associada à homogênea
Resolvendo, temos raízes complexas
Logo, a solução complementar é
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não homogêneo é
, supomos
Então
Substituindo na EDO:
Isto é
Assim,
e
.
Passo 4
A solução geral é a soma das duas partes:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
dá
Em seguida, calculamos
:
Em
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do PVI é