Questão 5: Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
ly^prime prime-4 y^prime+5 y=-12 e^3 t y(0)=0, y^prime(0)=-2

Passo 1

O problema é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Precisamos: (a) achar a solução complementar pela equação característica, (b) obter uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar e © usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para a parte complementar, escrevemos a equação característica associada à homogênea
r^2 - 4r + 5 = 0
Resolvendo, temos raízes complexas
r = 4 pm raiz16 - 202 = 2 pm i
Logo, a solução complementar é
yc(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é -12e^3t, supomos
yp(t) = A e^3t
Então
yp'(t) = 3A e^3t, yp''(t) = 9A e^3t
Substituindo na EDO:
(9A) e^3t - 4(3A)e^3t + 5(A)e^3t = -12e^3t
Isto é
(9A - 12A + 5A)e^3t = 2A e^3t = -12e^3t
Assim, 2A = -12 e A = -6.

Passo 4

A solução geral é a soma das duas partes:
y(t) = yc(t) + yp(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr) - 6e^3t

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=0
y(0) = C1 - 6 = 0 implies C1 = 6
Em seguida, calculamos y'(t):
y'(t) = e^2tl[(2C1 + C2)cos t + (2C2 - C1)sin tr] - 18e^3t
Em t=0:
y'(0) = (2C1 + C2) - 18 = -2
Substituindo C1=6:
2cdot6 + C2 - 18 = -2 implies 12 + C2 - 18 = -2 implies C2 = 4

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = e^2tl(6cos t + 4sin tr) - 6e^3t

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