Fatore:
15 a^{3} x^{2} y-30 a^{2} x y^{3}+45 a^{4} x^{3} y^{4}=

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
15 a^{3} x^{2} y-30 a^{2} x y^{3}+45 a^{4} x^{3} y^{4}.
Informações dadas (listei termo a termo):
\begin{aligned} \text{termo 1: }& 15 a^{3} x^{2} y &\text{(coeficiente }15,\; a^{3},\; x^{2},\; y^{1})\\\ \text{termo 2: }& -30 a^{2} x y^{3} &\text{(coeficiente }-30,\; a^{2},\; x^{1},\; y^{3})\\\ \text{termo 3: }& 45 a^{4} x^{3} y^{4} &\text{(coeficiente }45,\; a^{4},\; x^{3},\; y^{4}) \end{aligned}
O que se pede: escrever essa expressão como produto de um fator comum (quando possível) por um polinômio mais simples — ou seja, tirar o máximo fator comum.

Passo 2

Vamos achar o maior fator comum dos coeficientes numéricos 15,\; -30,\; 45.
Regra rápida: fator comum numérico é o máximo divisor comum (MDC). Fatoremos:
15=3\cdot5,\quad -30=-1\cdot2\cdot3\cdot5,\quad 45=3\cdot3\cdot5.
Os fatores primos comuns a todos são 3 e 5, então o MDC é
3\cdot5=15.
Portanto o maior fator numérico comum é 15.

Passo 3

Agora o fator comum nas variáveis: para cada variável tomamos o menor expoente que aparece nos termos (porque só esse menor expoente está presente em todos).
  • Para a: os expoentes são 3,\;2,\;4. O menor é 2. Logo contribuímos com a^{2}.
  • Para x: os expoentes são 2,\;1,\;3. O menor é 1. Logo x^{1}=x.
  • Para y: os expoentes são 1,\;3,\;4. O menor é 1. Logo y^{1}=y.
Assim o fator comum em variáveis é a^{2} x y. Combinando com o coeficiente, o fator comum total é
15 a^{2} x y.
Regra usada (curta explicação): para potências da mesma base, dividir a^{m} por a^{n} a^{m-n}. Isso vai aparecer ao dividir cada termo pelo fator comum.

Passo 4

Agora dividimos cada termo por 15 a^{2} x y para encontrar os termos dentro dos parênteses.
  1. Primeiro termo:
\frac{15 a^{3} x^{2} y}{15 a^{2} x y}=\frac{15}{15}\cdot a^{3-2}\cdot x^{2-1}\cdot y^{1-1}=1\cdot a^{1}\cdot x^{1}\cdot y^{0}=a x.
Expliquei cada parte: 15/15=1, a^{3}/a^{2}=a^{1}, x^{2}/x^{1}=x^{1}, y^{1}/y^{1}=y^{0}=1.
  1. Segundo termo:
\frac{-30 a^{2} x y^{3}}{15 a^{2} x y}=\frac{-30}{15}\cdot a^{2-2}\cdot x^{1-1}\cdot y^{3-1}=-2\cdot a^{0}\cdot x^{0}\cdot y^{2}=-2 y^{2}.
Note que a^{0}=1 e x^{0}=1, por isso só fica -2 y^{2}.
  1. Terceiro termo:
\frac{45 a^{4} x^{3} y^{4}}{15 a^{2} x y}=\frac{45}{15}\cdot a^{4-2}\cdot x^{3-1}\cdot y^{4-1}=3\cdot a^{2}\cdot x^{2}\cdot y^{3}=3 a^{2} x^{2} y^{3}.

Passo 5

Juntando, a expressão fatorada é
15 a^{2} x y\bigl(a x - 2 y^{2} + 3 a^{2} x^{2} y^{3}\bigr).
Verificação rápida: multiplicando o fator 15 a^{2} x y pelos termos dentro dos parênteses devolve os três termos originais, então a fatoração está correta. Não há um fator comum adicional dentro dos parênteses (os três termos não têm um número ou variável em comum além de 1), então este é o resultado final.

Resposta

15 a^{2} x y\bigl(a x - 2 y^{2} + 3 a^{2} x^{2} y^{3}\bigr)

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