Fatore:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar a expressão
.
Informações dadas: a expressão é um polinômio em e
com parâmetro
(presumimos
inteiro positivo). Não há outras restrições fornecidas (por exemplo, valores especiais de
,
ou
).
Informações dadas: a expressão é um polinômio em
Passo 2
Vamos recordar uma fórmula muito útil: a identidade da diferença de quadrados. Ela diz que, para quaisquer
e
,
Explicando devagar: se você tem dois termos elevados ao quadrado e subtrai um do outro, dá para escrever o resultado como produto da soma e da diferença das raízes quadradas desses termos. Isso é ótimo porque transforma uma diferença em um produto — exatamente o que queremos ao fatorar.
Passo 3
No nosso caso notamos que
é um quadrado perfeito porque
. Também
é um quadrado perfeito porque
. Portanto podemos aplicar a identidade com
Passo 4
Aplicando a identidade da diferença de quadrados obtemos
Para ver que isso está correto, podemos expandir o produto:
ou seja, voltamos à expressão original — fatoração verificada.
Passo 5
Sobre fatorar mais: em geral os fatores
e
não se decompõem em polinômios com coeficientes inteiros sem informação adicional sobre
,
ou
. Existem casos especiais em que se pode fatorar mais (por exemplo, se
for um quadrado perfeito então
pode se escrever como diferença de quadrados), mas sem hipóteses extras a fatoração completa, sobre os inteiros ou polinômios em
, fica como acima.
Passo 6
Resumo prático para a prova: ao ver
reconheça dois quadrados
e
e aplique diretamente
. Se pedirem fatoração adicional, cheque condições especiais (por exemplo, se
é quadrado) antes de tentar decompor mais.