Fatore:
x^{4 n}-64 y^{2}=

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão \;x^{4n}-64y^{2}\;.
Informações dadas: a expressão é um polinômio em x e y com parâmetro n (presumimos n inteiro positivo). Não há outras restrições fornecidas (por exemplo, valores especiais de n, x ou y).

Passo 2

Vamos recordar uma fórmula muito útil: a identidade da diferença de quadrados. Ela diz que, para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando devagar: se você tem dois termos elevados ao quadrado e subtrai um do outro, dá para escrever o resultado como produto da soma e da diferença das raízes quadradas desses termos. Isso é ótimo porque transforma uma diferença em um produto — exatamente o que queremos ao fatorar.

Passo 3

No nosso caso notamos que \;x^{4n}\; é um quadrado perfeito porque \;x^{4n}=(x^{2n})^{2}\;. Também \;64y^{2}\; é um quadrado perfeito porque \;64y^{2}=(8y)^{2}. Portanto podemos aplicar a identidade com
a = x^{2n},\qquad b = 8y.

Passo 4

Aplicando a identidade da diferença de quadrados obtemos
x^{4n}-64y^{2}=(x^{2n}-8y)(x^{2n}+8y).
Para ver que isso está correto, podemos expandir o produto:
(x^{2n}-8y)(x^{2n}+8y)= (x^{2n})^{2}-(8y)^{2}=x^{4n}-64y^{2},
ou seja, voltamos à expressão original — fatoração verificada.

Passo 5

Sobre fatorar mais: em geral os fatores \;x^{2n}-8y\; e \;x^{2n}+8y\; não se decompõem em polinômios com coeficientes inteiros sem informação adicional sobre n, x ou y. Existem casos especiais em que se pode fatorar mais (por exemplo, se 8y for um quadrado perfeito então \;x^{2n}-8y\; pode se escrever como diferença de quadrados), mas sem hipóteses extras a fatoração completa, sobre os inteiros ou polinômios em x,y, fica como acima.

Passo 6

Resumo prático para a prova: ao ver \;x^{4n}-64y^{2}\; reconheça dois quadrados \;(x^{2n})^{2} e (8y)^{2} e aplique diretamente a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Se pedirem fatoração adicional, cheque condições especiais (por exemplo, se 8y é quadrado) antes de tentar decompor mais.

Resposta

(x^{2n}-8y)(x^{2n}+8y)

Exercícios relacionados