Fatore:
25 x^{2}-9 y^{2}=

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão 25 x^{2}-9 y^{2}.
Informações dadas: a expressão é a diferença entre dois termos quadráticos: 25 x^{2} e 9 y^{2}. Não há outros dados (coeficientes, constantes ou restrições).

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade muito útil (vou mostrar por que ela vale): para quaisquer símbolos a e b vale
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Prova rápida (expansão): calcule o produto à direita usando a regra distributiva (FOIL):
(a-b)(a+b)=a\cdot a + a\cdot b - b\cdot a - b\cdot b = a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}.
Ou seja, o produto (a-b)(a+b) “corta” os termos cruzados ab e deixa apenas a^{2}-b^{2}. Isso é a fatoração clássica da diferença de quadrados.

Passo 3

Agora identifique na expressão quais seriam a e b para aplicar a identidade. Queremos achar a e b tais que a^{2}=25x^{2} e b^{2}=9y^{2}. Uma escolha natural é
a=5x \quad\text{e}\quad b=3y,
pois (5x)^{2}=25x^{2} e (3y)^{2}=9y^{2}.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=5x e b=3y, obtemos a fatoração:
25x^{2}-9y^{2}=(5x-3y)(5x+3y).

Passo 5

Vamos verificar expandindo para garantir que deu certo:
(5x-3y)(5x+3y)=5x\cdot5x +5x\cdot3y -3y\cdot5x -3y\cdot3y=25x^{2}+15xy-15xy-9y^{2}=25x^{2}-9y^{2}.
Os termos +15xy e -15xy se cancelam, sobrando exatamente a expressão original.

Passo 6

Dica rápida para a prova: ao ver algo na forma A^{2}-B^{2} verifique se A e B são quadrados perfeitos (ou produtos quadráticos como 5x e 3y). Sempre que for diferença de quadrados, use (A-B)(A+B). Exemplo extra: 16t^{2}-1=(4t-1)(4t+1).

Resposta

(5x-3y)(5x+3y)

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