a) Fatore x^2+12 x+36. Neste caso x^2 e 36 são quadrados e suas basessão x e 6 e, além disso, 12x = 2.x.6. Assim,
x^2+12 x+36=(x+6)^2
b) 9 x^2-12 x+25 é um quadrado perfeito? Ora, 9 x^2=(3 x)^2 e 25=5^2. Mas, 2. (3 x) 5=30 x. Logo, 9 x^2-12 x+25 não é um trinômio quadrado perfeito.
c) Fatore x^6-2 x^3 y+y^2. Nesse caso, x^6=(x^3)^2 e y^2=(y)^2 e2. x^3. y= 2 x^3 y. Logo, x^6-2 x^3 y+y^2=(x^3-y)^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com fatoração de trinômios e verificar quando eles são quadrados perfeitos. Em (a) e (c) vamos reconhecer padrões do tipo
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
ou
a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2,
enquanto em (b) iremos testar se a forma se enquadra em algum desses padrões.

Passo 2

Para (a) x^2+12x+36, identificamos
,a=x, ,b=6
e vemos que
2ab = 2cdot xcdot 6 = 12x
que coincide com o termo do meio, e ainda ,a^2 = x^2 e ,b^2 = 36. Logo temos um quadrado perfeito:
x^2+12x+36 = (x+6)^2

Passo 3

Para (b) 9x^2-12x+25, tentamos o mesmo teste. Se fosse quadrado perfeito, deveríamos ter
,a=3x, ,b=5
e
2ab = 2cdot(3x)cdot5 = 30x,
porém o termo do meio é -12x. Como -12x neq 30x, concluímos que não é um trinômio quadrado perfeito.

Passo 4

Para (c) x^6 - 2x^3y + y^2, fazemos a troca t = x^3. A expressão vira
t^2 - 2t,y + y^2,
que é exatamente um quadrado perfeito da forma (t - y)^2. Voltando a x^3, obtemos
x^6 - 2x^3y + y^2 = (x^3 - y)^2

Resposta

(a) (x+6)^2
(b) não é um trinômio quadrado perfeito
(c) (x^3 - y)^2

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