INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Dada a integral tripla em coordenadas cartesianas abaixo, converta para coordenadas esféricas e calcule.
Dada a integral tripla em coordenadas cartesianas abaixo, converta para coordenadas esféricas e calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre a região que é a parte da esfera de raio
contida no primeiro octante (
). O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, onde iremos usar
o Jacobiano
e a identificação da região em
.
Passo 2
Para descrever a região em esféricas note que
vira
. Como
, temos o ângulo azimutal
variando de
a
(primeiro quadrante no plano
) e o ângulo polar
de
a
(metade superior da esfera). Logo,
Passo 3
O integrando
em esféricas é
e o elemento de volume é
. Portanto a integral vira
Passo 4
Agora a integral se separa:
Calculando cada uma:
Multiplicando dá
.