INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Dada a integral tripla em coordenadas cartesianas abaixo, converta para coordenadas esféricas e calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integraly=0^2integralx=0^raiz4-y^2integralz=0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2,dz,dx,dy
sobre a região que é a parte da esfera de raio 2 contida no primeiro octante ( x,y,z>=0). O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, onde iremos usar
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
o Jacobiano rho^2sinphi e a identificação da região em (rho,phi,theta).

Passo 2

Para descrever a região em esféricas note que x^2+y^2+z^2<=4 vira 0<=rho<=2. Como x,y,z>=0, temos o ângulo azimutal theta variando de 0 a pi/2 (primeiro quadrante no plano xy) e o ângulo polar phi de 0 a pi/2 (metade superior da esfera). Logo,
0<=rho<=2, 0<=phi<=pi2, 0<=theta<=pi2

Passo 3

O integrando 1x^2+y^2+z^2 em esféricas é 1rho^2 e o elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Portanto a integral vira
integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2integralrho=0^2 1rho^2, rho^2sinphi, drho,dphi,dtheta = integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^2sinphi, drho,dphi,dtheta

Passo 4

Agora a integral se separa:
integral0^2drho ;times; integral0^pi/2sinphi,dphi ;times; integral0^pi/2dtheta
Calculando cada uma:
integral0^2drho = 2, integral0^pi/2sinphi,dphi = l[-cosphir]0^pi/2 = 1, integral0^pi/2dtheta = pi2
Multiplicando dá 2 times 1 times pi2 = pi.

Resposta

pi

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