Simplifique as seguintes frações algébricas:
\frac{x+x^{2}}{y+y x}=

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{x+x^{2}}{y+y x}.
Informações dadas: numerador é \,x+x^{2}\, e denominador é \,y+yx\,. Objetivo: reduzir a fração ao máximo (fatorar e cancelar fatores comuns), indicando as condições necessárias para que a simplificação seja válida.

Passo 2

Fatorar o numerador. Aqui podemos usar a propriedade distributiva: se termos têm um fator comum, a gente o coloca em evidência. No numerador \,x+x^{2}\, o fator comum é \,x. Fatorando:
x+x^{2}=x(1+x).
Explicação curta: multiplicando x por 1 x e por x x^{2}, então x(1+x) reconstrói o numerador.

Passo 3

Fatorar o denominador. No denominador \,y+yx\, o fator comum é \,y. Fatorando:
y+yx=y(1+x).
Novamente, y\cdot 1 = y e y\cdot x = yx, então a fatoração está correta.

Passo 4

Reescrever a fração com as fatorações obtidas:
\frac{x+x^{2}}{y+yx}=\frac{x(1+x)}{y(1+x)}.
Agora vemos um fator igual no numerador e no denominador: (1+x). Regra de cancelamento: podemos simplificar (dividir) esse fator em cima e embaixo desde que o fator não seja zero. Ou seja, só podemos cancelar se (1+x)\neq 0.

Passo 5

Cancelar o fator comum e explicar as condições de existência. Cancelando (1+x) obtemos
\frac{x(1+x)}{y(1+x)}=\frac{x}{y},
contanto que (1+x)\neq 0. Além disso, desde o início a fração original só faz sentido se o denominador for diferente de zero, ou seja, se
y(1+x)\neq 0,
o que equivale a exigir simultaneamente \,y\neq 0\, e \,1+x\neq 0 (ou, dito de outro modo, y\neq 0 e x\neq -1). Observação: se x=-1 ambos numerador e denominador viram 0 (indeterminação 0/0), então não dá para simplificar nesse caso.

Passo 6

Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): escolha \,x=2 e \,y=3. A expressão original vale
\frac{2+2^{2}}{3+3\cdot 2}=\frac{2+4}{3+6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},
e a expressão simplificada \frac{x}{y} com esses valores é \frac{2}{3}. Confere.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{y}, com x\neq -1 e y\neq 0

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