Fatore cada expressão.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar a expressão quadrática
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Coeficiente do termo quadrático:
. - Coeficiente do termo linear:
. - Termo constante:
.
Objetivo: escrevercomo um produto de dois fatores lineares (com coeficientes inteiros, se possível).
Passo 2
Método que vamos usar (muito usado em provas): procurar dois números
e
tais que
e
Por que isso funciona? Se encontrarmos
e
com essas propriedades, podemos reescrever o termo do meio
como
e depois fatorar por agrupamento. Aqui
,
,
são os coeficientes da forma geral
.
Passo 3
Calcular o produto
e lembrar
:
Então precisamos de dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
.
Passo 4
Procurar pares de fatores de
e verificar a soma:
-
e : soma . -
e : soma . -
e : soma . Bingo!
Portanto escolhemose .
Passo 5
Reescrever o polinômio substituindo
por
:
Passo 6
Fatorar por agrupamento: agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos,
Agora fatorar cada grupo:
Como os dois grupos têm o fator comum
, fatoramos:
Passo 7
Verificação rápida (expandindo para checar):
que é exatamente a expressão original. Está correto.
Passo 8
Comentário adicional (opcional para prova): pelas raízes da equação
obtemos
portanto
e
. Isso corresponde aos fatores
e
(multiplicando por
para eliminar a fração), confirmando o resultado obtido.