Fatore cada expressão.
2 x^{2}-5 x-12

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão quadrática 2x^{2}-5x-12.
Informações dadas:
  • Coeficiente do termo quadrático: a=2.
  • Coeficiente do termo linear: b=-5.
  • Termo constante: c=-12.
    Objetivo: escrever 2x^{2}-5x-12 como um produto de dois fatores lineares (com coeficientes inteiros, se possível).

Passo 2

Método que vamos usar (muito usado em provas): procurar dois números m e n tais que
m+n=b
e
m\cdot n = a\cdot c.
Por que isso funciona? Se encontrarmos m e n com essas propriedades, podemos reescrever o termo do meio bx como mx+nx e depois fatorar por agrupamento. Aqui a, b, c são os coeficientes da forma geral ax^{2}+bx+c.

Passo 3

Calcular o produto a\cdot c e lembrar b:
a\cdot c = 2\cdot(-12) = -24, \qquad b=-5.
Então precisamos de dois números cuja soma seja -5 e cujo produto seja -24.

Passo 4

Procurar pares de fatores de -24 e verificar a soma:
  • 1 e -24: soma 1+(-24)=-23.
  • 2 e -12: soma 2+(-12)=-10.
  • 3 e -8: soma 3+(-8)=-5. Bingo!
    Portanto escolhemos m=3 e n=-8.

Passo 5

Reescrever o polinômio substituindo -5x por 3x-8x:
2x^{2}-5x-12 = 2x^{2}-8x+3x-12.

Passo 6

Fatorar por agrupamento: agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos,
2x^{2}-8x+3x-12 = (2x^{2}-8x)+(3x-12).
Agora fatorar cada grupo:
2x^{2}-8x = 2x(x-4), \qquad 3x-12 = 3(x-4).
Como os dois grupos têm o fator comum (x-4), fatoramos:
2x(x-4)+3(x-4) = (x-4)(2x+3).

Passo 7

Verificação rápida (expandindo para checar):
(x-4)(2x+3)=2x^{2}+3x-8x-12=2x^{2}-5x-12,
que é exatamente a expressão original. Está correto.

Passo 8

Comentário adicional (opcional para prova): pelas raízes da equação 2x^{2}-5x-12=0 obtemos
\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot2\cdot(-12)=25+96=121,
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm11}{4},
portanto x=4 e x=-\tfrac{3}{2}. Isso corresponde aos fatores (x-4) e (2x+3) (multiplicando por 2 para eliminar a fração), confirmando o resultado obtido.

Resposta

(x-4)(2x+3)

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