Fatore cada expressão.
Passo 1
O enunciado pede para “fatorar cada expressão” e nos deu a expressão
Ou seja, a tarefa é escrever essa expressão como um produto de fatores mais simples (fator comum, fatores lineares, etc.). Não há outras informações.
Passo 2
Ideia principal (o que geralmente funciona primeiro): procurar um fator comum em todos os termos. Explicando com calma o que é isso:
- Se uma expressão é soma (ou diferença) de termos, um fator comum é um número e/ou potência de
que divide cada termo. - Para encontrar o maior fator comum monomial (GCF), tomo o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos e a menor potência de
presente em todos os termos.
Aplicando isso aos termos de
e
:
- Coeficientes:
e . O maior divisor comum é . - Potências de
: e . A menor potência é , ou seja .
Portanto o fator comum é
.
Passo 3
Factorizando por
: divido cada termo por
e coloco
em evidência.
Calculemos as divisões:
Calculemos as divisões:
Logo
Passo 4
Verificação (sempre útil na prova): multiplicar de volta para checar.
somando dá
. Está correto.
Passo 5
Possível fatoração adicional: observar que
é uma diferença de quadrados se escrevermos como
Então, se for permitido usar coeficientes irracionais, pode-se escrever
e assim obter a fatoração completa sobre
:
Observação: esta última forma usa coeficientes irracionais; a fatoração com coeficientes racionais (mais usual em provas de álgebra elementar) é
.
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo): sempre comece procurando o maior fator comum; só tente fatorar quadráticos restantes se for pedido fatoração completa sobre os reais ou se as raízes forem “bonitas”. Aqui o passo essencial e mais rápido é destacar
.