Fatore cada expressão.
4 x^{3}-2 x

Passo 1

O enunciado pede para “fatorar cada expressão” e nos deu a expressão
4x^{3}-2x.
Ou seja, a tarefa é escrever essa expressão como um produto de fatores mais simples (fator comum, fatores lineares, etc.). Não há outras informações.

Passo 2

Ideia principal (o que geralmente funciona primeiro): procurar um fator comum em todos os termos. Explicando com calma o que é isso:
  • Se uma expressão é soma (ou diferença) de termos, um fator comum é um número e/ou potência de x que divide cada termo.
  • Para encontrar o maior fator comum monomial (GCF), tomo o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos e a menor potência de x presente em todos os termos.
Aplicando isso aos termos de \,4x^{3} e -2x:
  • Coeficientes: 4 e 2. O maior divisor comum é 2.
  • Potências de x: x^{3} e x^{1}. A menor potência é x^{1}, ou seja x.
Portanto o fator comum é 2x.

Passo 3

Factorizando por 2x: divido cada termo por 2x e coloco 2x em evidência.
Calculemos as divisões:
\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}, \qquad \frac{-2x}{2x}=-1.
Logo
4x^{3}-2x = 2x\bigl(2x^{2}-1\bigr).

Passo 4

Verificação (sempre útil na prova): multiplicar de volta para checar.
2x\cdot(2x^{2})=4x^{3},\qquad 2x\cdot(-1)=-2x,
somando dá 4x^{3}-2x. Está correto.

Passo 5

Possível fatoração adicional: observar que 2x^{2}-1 é uma diferença de quadrados se escrevermos como
2x^{2}-1 = (\sqrt{2}\,x)^{2}-1^{2}.
Então, se for permitido usar coeficientes irracionais, pode-se escrever
2x^{2}-1 = (\sqrt{2}\,x-1)(\sqrt{2}\,x+1),
e assim obter a fatoração completa sobre \mathbb{R}:
4x^{3}-2x = 2x\bigl(\sqrt{2}\,x-1\bigr)\bigl(\sqrt{2}\,x+1\bigr).
Observação: esta última forma usa coeficientes irracionais; a fatoração com coeficientes racionais (mais usual em provas de álgebra elementar) é 2x(2x^{2}-1).

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo): sempre comece procurando o maior fator comum; só tente fatorar quadráticos restantes se for pedido fatoração completa sobre os reais ou se as raízes forem “bonitas”. Aqui o passo essencial e mais rápido é destacar 2x.

Resposta

2x\bigl(2x^{2}-1\bigr)

Exercícios relacionados