Fatore cada expressão
x^{3}-27

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão x^{3}-27.
Informações dadas e úteis:
  • A expressão a fatorar é x^{3}-27.
  • Note que 27 é um número especial: 27 = 3^{3}.

Passo 2

Reconhecer o padrão: a expressão pode ser vista como uma diferença de cubos, isto é, como a^{3}-b^{3} com a=x e b=3. Vou escrever isso explicitamente:
x^{3}-27 = x^{3}-3^{3}.

Passo 3

Lembrar (e justificar) a fórmula da diferença de cubos. Para quaisquer números a e b vale a identidade
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Vamos checar expandindo o lado direito passo a passo para ver por que funciona:
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a\cdot a^{2}+a\cdot ab+a\cdot b^{2}-b\cdot a^{2}-b\cdot ab-b\cdot b^{2}.
Agora calculando cada termo:
= a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}.
Os termos a^{2}b e -a^{2}b se cancelam; os termos ab^{2} e -ab^{2} também se cancelam; sobra
= a^{3}-b^{3},
o que prova a fórmula. Aqui cada variável significa: a e b são números (ou expressões) quaisquer; a^{2} é a ao quadrado, ab é o produto etc.

Passo 4

Aplicar a fórmula com a=x e b=3. Substituindo na identidade:
x^{3}-3^{3}=(x-3)\bigl(x^{2}+x\cdot 3+3^{2}\bigr).
Calcular os produtos e potências dentro do parêntese:
x^{3}-27=(x-3)(x^{2}+3x+9).

Passo 5

Verificação rápida (multiplicando de volta) para ganhar confiança: multiplicando (x-3)(x^{2}+3x+9) obtemos
x\cdot x^{2}+x\cdot 3x + x\cdot 9 -3\cdot x^{2}-3\cdot 3x -3\cdot 9 = x^{3}-27,
como esperado. Observação final: o fator x-3 é linear (raiz x=3); o quadrático x^{2}+3x+9 tem discriminante \Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot9=9-36=-27, negativo, portanto não pode ser fatorado em fatores lineares reais (mas poderia em fatores complexos).

Resposta

(x-3)(x^{2}+3x+9)

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