Fatore cada expressão
Passo 1
O enunciado pede para fatorar a expressão
.
Informações dadas e úteis:
Informações dadas e úteis:
- A expressão a fatorar é
. - Note que
é um número especial: .
Passo 2
Reconhecer o padrão: a expressão pode ser vista como uma diferença de cubos, isto é, como
com
e
. Vou escrever isso explicitamente:
Passo 3
Lembrar (e justificar) a fórmula da diferença de cubos. Para quaisquer números
e
vale a identidade
Vamos checar expandindo o lado direito passo a passo para ver por que funciona:
Agora calculando cada termo:
Os termos
e
se cancelam; os termos
e
também se cancelam; sobra
o que prova a fórmula. Aqui cada variável significa:
e
são números (ou expressões) quaisquer;
é
ao quadrado,
é o produto etc.
Passo 4
Aplicar a fórmula com
e
. Substituindo na identidade:
Calcular os produtos e potências dentro do parêntese:
Passo 5
Verificação rápida (multiplicando de volta) para ganhar confiança: multiplicando
obtemos
como esperado. Observação final: o fator
é linear (raiz
); o quadrático
tem discriminante
, negativo, portanto não pode ser fatorado em fatores lineares reais (mas poderia em fatores complexos).