Fatore cada expressão
x^{3} y-4 x y

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos a expressão x^{3}y-4xy e o objetivo é fattorá‑la completamente (ou seja, escrever como um produto de fatores simples). As informações relevantes que temos:
  • Os dois termos são x^{3}y e -4xy.
  • Queremos fatorar essa expressão sem presumir nada mais (fatoração sobre os inteiros).

Passo 2

Procurar fator comum (máximo fator comum) entre os termos.
Explicando a ideia: para fatorar uma soma ou diferença de termos, sempre vale a pena primeiro retirar o maior fator que aparece em todos os termos (o MDC em coeficientes e a menor potência de cada variável comum). Isso facilita o resto da fatoração.
Calculemos o fator comum entre x^{3}y e -4xy:
  • Coeficientes: 1 e -4 têm MDC igual a 1.
  • Variáveis: ambos têm um fator x (potências x^{3} e x^{1}), então a menor potência comum é x^{1}, ou seja x.
  • Ambos têm um fator y (potências y^{1} e y^{1}), então o menor expoente comum é y.
Logo o fator comum é xy.

Passo 3

Fatorando xy em evidência: escrevemos cada termo como xy vezes algo:
x^{3}y = xy\cdot x^{2}, \qquad -4xy = xy\cdot(-4).
Portanto, ao retirar xy em evidência obtemos
x^{3}y-4xy = xy\left(x^{2}-4\right).

Passo 4

Reconhecer x^{2}-4 como uma diferença de quadrados.
Explicação didática: a fórmula da diferença de quadrados diz que, para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Pode-se ver isso expandindo (a-b)(a+b):
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}.
No nosso caso, x^{2}-4 é x^{2}-(2)^{2}, ou seja a=x e b=2.

Passo 5

Aplicando a identidade ao nosso fator:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo na expressão fatorada do Passo 3, obtemos a fatoração completa
x^{3}y-4xy = xy\,(x-2)(x+2).

Passo 6

Verificação rápida (para garantir que não houve erro): primeiro calcule (x-2)(x+2)=x^{2}-4, então
xy\,(x-2)(x+2)=xy\,(x^{2}-4)=x^{3}y-4xy,
que é a expressão original. Tudo conferido.

Resposta

xy(x-2)(x+2)

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