Fatore cada expressão
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos a expressão
e o objetivo é fattorá‑la completamente (ou seja, escrever como um produto de fatores simples). As informações relevantes que temos:
- Os dois termos são
e . - Queremos fatorar essa expressão sem presumir nada mais (fatoração sobre os inteiros).
Passo 2
Procurar fator comum (máximo fator comum) entre os termos.
Explicando a ideia: para fatorar uma soma ou diferença de termos, sempre vale a pena primeiro retirar o maior fator que aparece em todos os termos (o MDC em coeficientes e a menor potência de cada variável comum). Isso facilita o resto da fatoração.
Explicando a ideia: para fatorar uma soma ou diferença de termos, sempre vale a pena primeiro retirar o maior fator que aparece em todos os termos (o MDC em coeficientes e a menor potência de cada variável comum). Isso facilita o resto da fatoração.
Calculemos o fator comum entre
e
:
- Coeficientes:
e têm MDC igual a . - Variáveis: ambos têm um fator
(potências e ), então a menor potência comum é , ou seja . - Ambos têm um fator
(potências e ), então o menor expoente comum é .
Logo o fator comum é
.
Passo 3
Fatorando
em evidência: escrevemos cada termo como
vezes algo:
Portanto, ao retirar
em evidência obtemos
Passo 4
Reconhecer
como uma diferença de quadrados.
Explicação didática: a fórmula da diferença de quadrados diz que, para quaisquer e
,
Explicação didática: a fórmula da diferença de quadrados diz que, para quaisquer
Pode-se ver isso expandindo
:
No nosso caso,
é
, ou seja
e
.
Passo 5
Aplicando a identidade ao nosso fator:
Substituindo na expressão fatorada do Passo 3, obtemos a fatoração completa
Passo 6
Verificação rápida (para garantir que não houve erro): primeiro calcule
, então
que é a expressão original. Tudo conferido.