Fatore cada expressão.
Passo 1
O enunciado pede: “Fatore cada expressão.” A expressão dada é
.
Informações relevantes: os coeficientes são (do termo
),
(do termo
) e
(termo constante). A tarefa é escrever essa expressão como produto de fatores (se possível com fatores inteiros/racionais; se não, podemos também fatorar em fatores lineares complexos).
Informações relevantes: os coeficientes são
Passo 2
Primeiro passo padrão: procurar um fator comum em todos os termos (o máximo divisor comum). Aqui os coeficientes
,
e
têm
como divisor comum. Isso significa que podemos escrever
Explicando de forma simples: dividir cada termo por
e colocar
em evidência. Isso reduz o problema a verificar se
factoriza mais.
Passo 3
Agora vamos ver se o polinômio quadrático
pode ser quebrado em fatores lineares com coeficientes racionais (ou reais). A técnica padrão é usar o discriminante da equação quadrática. Para um quadrático geral
, o discriminante é
O sinal de
nos diz:
- se
e é quadrado perfeito, as raízes são racionais e o polinômio fatoriza sobre ; - se
mas não é quadrado perfeito, as raízes são reais irracionais (fatoriza sobre em fatores lineares com coeficientes reais, mas não racionais); - se
há raiz dupla (fatoriza como quadrado); - se
as raízes são complexas e não há fatoração em fatores lineares com coeficientes reais.
Aqui
,
,
. Calculamos
Como
, o quadrático não tem raízes reais; portanto é irredutível sobre os reais (não dá para fatorar em fatores lineares reais). A fatoração mais simples sobre os reais/inteiros é então aquela que tiramos a evidência:
Passo 4
Se for necessário fatorar completamente sobre os complexos, usamos a fórmula quadrática para obter as raízes complexas:
Essas são as duas raízes. Então o quadrático se escreve como produto de fatores lineares complexos:
Multiplicando por
obtemos a fatoração completa sobre
:
Passo 5
Resumo prático para a prova: sempre comece tire o fator comum (aqui
). Em seguida verifique o discriminante para decidir se a fatoração pára aí (quando
, fica como quadrático irreduzível sobre
) ou se você pode decompor em fatores lineares (quando
). Não se esqueça da fórmula quadrática quando precisar das raízes complexas.