Fatore cada expressão.
4 x^{2}-4 x+12

Passo 1

O enunciado pede: “Fatore cada expressão.” A expressão dada é 4x^{2}-4x+12.
Informações relevantes: os coeficientes são 4 (do termo x^2), -4 (do termo x) e 12 (termo constante). A tarefa é escrever essa expressão como produto de fatores (se possível com fatores inteiros/racionais; se não, podemos também fatorar em fatores lineares complexos).

Passo 2

Primeiro passo padrão: procurar um fator comum em todos os termos (o máximo divisor comum). Aqui os coeficientes 4, -4 e 12 têm 4 como divisor comum. Isso significa que podemos escrever
4x^{2}-4x+12 = 4\bigl(x^{2}-x+3\bigr).
Explicando de forma simples: dividir cada termo por 4 e colocar 4 em evidência. Isso reduz o problema a verificar se x^{2}-x+3 factoriza mais.

Passo 3

Agora vamos ver se o polinômio quadrático x^{2}-x+3 pode ser quebrado em fatores lineares com coeficientes racionais (ou reais). A técnica padrão é usar o discriminante da equação quadrática. Para um quadrático geral ax^{2}+bx+c, o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac.
O sinal de \Delta nos diz:
  • se \Delta>0 e é quadrado perfeito, as raízes são racionais e o polinômio fatoriza sobre \mathbb{Q};
  • se \Delta>0 mas não é quadrado perfeito, as raízes são reais irracionais (fatoriza sobre \mathbb{R} em fatores lineares com coeficientes reais, mas não racionais);
  • se \Delta=0 há raiz dupla (fatoriza como quadrado);
  • se \Delta<0 as raízes são complexas e não há fatoração em fatores lineares com coeficientes reais.
Aqui a=1, b=-1, c=3. Calculamos
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot3 = 1-12 = -11.
Como \Delta=-11<0, o quadrático não tem raízes reais; portanto é irredutível sobre os reais (não dá para fatorar em fatores lineares reais). A fatoração mais simples sobre os reais/inteiros é então aquela que tiramos a evidência:
4\bigl(x^{2}-x+3\bigr).

Passo 4

Se for necessário fatorar completamente sobre os complexos, usamos a fórmula quadrática para obter as raízes complexas:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{-11}}{2\cdot1}=\frac{1\pm i\sqrt{11}}{2}.
Essas são as duas raízes. Então o quadrático se escreve como produto de fatores lineares complexos:
x^{2}-x+3=\left(x-\frac{1+i\sqrt{11}}{2}\right)\left(x-\frac{1-i\sqrt{11}}{2}\right).
Multiplicando por 4 obtemos a fatoração completa sobre \mathbb{C}:
4\bigl(x^{2}-x+3\bigr)=4\left(x-\frac{1+i\sqrt{11}}{2}\right)\left(x-\frac{1-i\sqrt{11}}{2}\right).

Passo 5

Resumo prático para a prova: sempre comece tire o fator comum (aqui 4). Em seguida verifique o discriminante para decidir se a fatoração pára aí (quando \Delta<0, fica como quadrático irreduzível sobre \mathbb{R}) ou se você pode decompor em fatores lineares (quando \Delta\ge0). Não se esqueça da fórmula quadrática quando precisar das raízes complexas.

Resposta

4\bigl(x^{2}-x+3\bigr)
4\left(x-\dfrac{1+i\sqrt{11}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-i\sqrt{11}}{2}\right)

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