Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=\ln \left(x+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar primitivas (antiderivadas) da função f(x)=\ln\bigl(x+x^{2}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida onde x+x^{2}>0, isto é, nos intervalos \,x>0 e , x<-1.
  • Deve-se produzir uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\ln\bigl(x+x^{2}\bigr) nesses intervalos.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar): a integração por partes diz que, para funções u(x) e v(x) diferenciáveis,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicação curta do porquê: deriva-se o produto uv e integra-se ambos os lados; da regra do produto vem (uv)'=u'v+uv'. Integrando e isolando \int u\,dv obtém-se a fórmula acima.
Aqui u deve ser escolhido de modo que du seja mais simples que u; dv deve ser algo fácil de integrar.

Passo 3

Escolha para o nosso integral:
\int \ln\bigl(x+x^{2}\bigr)\,dx,
tomamos
u=\ln\bigl(x+x^{2}\bigr),\qquad dv=dx.
Justificativa: assim v=x é simples e du ficará racional (podemos simplificá-lo), tornando \int v\,du tratável.

Passo 4

Calculamos du e v. Como dv=dx temos v=x. Para du:
du=\frac{d}{dx}\ln\bigl(x+x^{2}\bigr)\,dx =\frac{1+2x}{x+x^{2}}\,dx.
Simplificamos a fração fatorando x+x^{2}=x(1+x) e usando frações parciais:
procuramos A,B tais que
\frac{1+2x}{x(1+x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1+x}.
Multiplicando por x(1+x):
1+2x = A(1+x)+B x = A + (A+B)x.
Comparando coeficientes: A=1 e A+B=2\Rightarrow B=1. Então
du=\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln\bigl(x+x^{2}\bigr)\,dx = uv - \int v\,du = x\ln\bigl(x+x^{2}\bigr) - \int x\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Simplificamos o integrando:
x\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}\Bigr)=1+\frac{x}{1+x}.
Note que
\frac{x}{1+x}=\frac{1+x-1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x},
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1+\frac{x}{1+x}=1+\Bigl(1-\frac{1}{1+x}\Bigr)=2-\frac{1}{1+x}.

Passo 7

Integramos termo a termo:
\int\Bigl(2-\frac{1}{1+x}\Bigr)\,dx = \int 2\,dx - \int\frac{1}{1+x}\,dx = 2x - \ln\bigl|1+x\bigr| + C.
(Coloquei valor absoluto em \ln para que a primitiva seja válida nos intervalos onde a função original está definida.)

Passo 8

Voltando para a expressão em partes:
\int \ln\bigl(x+x^{2}\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x+x^{2}\bigr) - \bigl(2x - \ln\bigl|1+x\bigr|\bigr) + C.
Simplificando:
\int \ln\bigl(x+x^{2}\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x+x^{2}\bigr) - 2x + \ln\bigl|1+x\bigr| + C.

Passo 9

Verificação rápida (derivando a resposta):
\frac{d}{dx}\Bigl(x\ln\bigl(x+x^{2}\bigr)-2x+\ln\bigl|1+x\bigr|\Bigr) =\ln\bigl(x+x^{2}\bigr)+x\frac{1+2x}{x+x^{2}}-2+\frac{1}{1+x}.
Como \dfrac{x(1+2x)}{x+x^{2}}=\dfrac{1+2x}{1+x}, ao somar os termos racionais obtemos exatamente 0 além de deixar \ln\bigl(x+x^{2}\bigr). Portanto a derivada é \ln\bigl(x+x^{2}\bigr), confirmando a primitiva.

Resposta

F(x)=x\ln\bigl|x+x^{2}\bigr|-2x+\ln\bigl|1+x\bigr|+C

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