Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes. f(x)=\ln \left(x+x^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar primitivas (antiderivadas) da função f(x)=\ln\bigl(x+x^{2}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
A função está definida onde x+x^{2}>0, isto é, nos intervalos \,x>0 e ,x<-1.
Deve-se produzir uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\ln\bigl(x+x^{2}\bigr) nesses intervalos.
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar): a integração por partes diz que, para funções u(x) e v(x) diferenciáveis,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicação curta do porquê: deriva-se o produto uv e integra-se ambos os lados; da regra do produto vem (uv)'=u'v+uv'. Integrando e isolando \int u\,dv obtém-se a fórmula acima.
Aqui u deve ser escolhido de modo que du seja mais simples que u; dv deve ser algo fácil de integrar.
Passo 3
Escolha para o nosso integral:
\int \ln\bigl(x+x^{2}\bigr)\,dx,
tomamos
u=\ln\bigl(x+x^{2}\bigr),\qquad dv=dx.
Justificativa: assim v=x é simples e du ficará racional (podemos simplificá-lo), tornando \int v\,du tratável.
Como \dfrac{x(1+2x)}{x+x^{2}}=\dfrac{1+2x}{1+x}, ao somar os termos racionais obtemos exatamente 0 além de deixar \ln\bigl(x+x^{2}\bigr). Portanto a derivada é \ln\bigl(x+x^{2}\bigr), confirmando a primitiva.