Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x \tan ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=x\tan^{2}x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x\tan^{2}x.
  • Queremos \displaystyle \int x\tan^{2}x\,dx, ou seja, todas as primitivsa dessa função (com constante de integração).

Passo 2

Uma identidade trigonométrica muito útil aqui é
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Explicação curta e intuitiva: vem da identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x, que por sua vez sai da identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 dividida por \cos^{2}x. Essa identidade é útil porque \operatorname{sec}^{2}x é a derivada de \tan x, então integra-se bem.

Passo 3

Usando a identidade, escrevemos a integral como soma/diferença de duas integrais mais simples:
\int x\tan^{2}x\,dx=\int x\big(\operatorname{sec}^{2}x-1\big)\,dx=\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx-\int x\,dx.
A segunda integral é direta. A primeira, \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx, é bem tratável por integração por partes.

Passo 4

Lembrete do método: a fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de forma conveniente (geralmente u é algo que simplifica ao derivar e dv é algo fácil de integrar).
Escolha prática aqui:
  • tome u=x (porque ao derivar vira du=dx, simplifica);
  • tome dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx (porque \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x, muito conveniente).
Então
du=dx,\qquad v=\tan x.
Aplicando a fórmula:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x - \int \tan x\,dx.

Passo 5

Agora precisamos integrar \tan x. Uma forma didática:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Faça a substituição t=\cos x. Então dt=-\sin x\,dx, logo \sin x\,dx=-dt. Assim
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-1}{t}\,dt = -\ln|t| + C = -\ln|\cos x| + C.
(Alternativamente pode-se escrever \int \tan x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x|+C; as duas formas diferem só por constante.)
Voltando à integral anterior:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x - \big(-\ln|\cos x|\big) = x\tan x + \ln|\cos x| + C_1.

Passo 6

Agora juntamos tudo:
\int x\tan^{2}x\,dx = \big(\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx\big) - \big(\int x\,dx\big).
Já temos \int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x + \ln|\cos x| + C_1 e \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2} + C_2. Subtraindo e combinando constantes de integração ( C=C_1-C_2 ), obtemos a primitiva geral.

Resposta

x\tan x+\ln|\cos x|-\tfrac{x^{2}}{2}+C

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