Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos
, ou seja, todas as primitivsa dessa função (com constante de integração).
Passo 2
Uma identidade trigonométrica muito útil aqui é
Explicação curta e intuitiva: vem da identidade
, que por sua vez sai da identidade pitagórica
dividida por
. Essa identidade é útil porque
é a derivada de
, então integra-se bem.
Passo 3
Usando a identidade, escrevemos a integral como soma/diferença de duas integrais mais simples:
A segunda integral é direta. A primeira,
, é bem tratável por integração por partes.
Passo 4
Lembrete do método: a fórmula da integração por partes é
onde escolhemos
e
de forma conveniente (geralmente
é algo que simplifica ao derivar e
é algo fácil de integrar).
Escolha prática aqui:
- tome
(porque ao derivar vira , simplifica); - tome
(porque , muito conveniente).
Então
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora precisamos integrar
. Uma forma didática:
Faça a substituição
. Então
, logo
. Assim
(Alternativamente pode-se escrever
; as duas formas diferem só por constante.)
Voltando à integral anterior:
Passo 6
Agora juntamos tudo:
Já temos
e
. Subtraindo e combinando constantes de integração (
), obtemos a primitiva geral.