Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
(a) A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: fatorar a matriz A como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 2\times2 com entradas \;a_{11}=0,\;a_{12}=1,\;a_{21}=1,\;a_{22}=0.
  • Deve-se encontrar uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A = P D P^{-1}.]

Passo 2

Ideia do método (explicada de forma simples): para escrever A como P D P^{-1} buscamos autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios) de A. Esses autovalores serão as entradas da diagonal de D e os autovetores serão as colunas de P. Vou calcular o polinômio característico para achar os autovalores e em seguida os autovetores associados. Depois monto P, D e calculo P^{-1}. Não vamos pular etapas: explico cada fórmula e cada passo.

Passo 3

Polinômio característico: para achar os autovalores \lambda usamos \det(A - \lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2. Então
A - \lambda I = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\[4pt] 0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
O determinante de uma 2\times2 \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1=\lambda^{2}-1.
Impondo \det(A-\lambda I)=0 obtemos o polinômio característico:
\lambda^{2}-1=0.]

Passo 4

Resolvendo o polinômio característico para \lambda:
\lambda^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad (\lambda-1)(\lambda+1)=0.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=-1.

Passo 5

Autovetor associado a \lambda_{1}=1: resolvemos (A-\lambda_{1}I)\,v=0. Escrevendo:
A - 1\cdot I = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Queremos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} tal que
\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema linear
- x + y = 0, \qquad x - y = 0.
As duas equações são iguais; da primeira obtemos y=x. Podemos escolher x=1 (qualquer múltiplo serve), então um autovetor correspondente é
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Explicação rápida: autovetor é um vetor que ao ser multiplicado por A só é escalado pelo autovalor. Aqui A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, consistente com \lambda_{1}=1.]

Passo 6

Autovetor associado a \lambda_{2}=-1: resolvemos (A-(-1)I)\,v=0, isto é (A+I)\,v=0:
A + I = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Procuramos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} tal que
\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
ou seja
x + y = 0, \qquad x + y = 0.
Daqui y=-x. Escolhendo x=1 obtemos um autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}, compatível com \lambda_{2}=-1.]

Passo 7

Montando P e D: por convenção colocamos como colunas de P os autovetores na mesma ordem das entradas de D. Vou escolher a ordem \lambda_{1}=1 primeiro e \lambda_{2}=-1 segundo. Assim
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo de P^{-1} passo a passo: para uma matriz 2\times2 P=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} a inversa (quando existir) é
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde ad-bc é o determinante de P. No nosso caso a=1,b=1,c=1,d=-1. Calculando o determinante:
\det P = a d - b c = 1\cdot(-1) - 1\cdot1 = -1 - 1 = -2.
Aplicando a fórmula:
P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\[4pt] 1/2 & -1/2\end{pmatrix}.
(Detalhe de conta: dividir por -2 muda os sinais como mostrado.)]

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil): calculando P D P^{-1} para ter certeza:
P D=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora
P D P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\[4pt] 1/2 & -1/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=A.
Portanto a fatoração está correta.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\[4pt] 1/2 & -1/2\end{pmatrix}.]

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