A matriz A é 2\times2 com entradas \;a_{11}=0,\;a_{12}=1,\;a_{21}=1,\;a_{22}=0.
Deve-se encontrar uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A = P D P^{-1}.]
Passo 2
Ideia do método (explicada de forma simples): para escrever A como P D P^{-1} buscamos autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios) de A. Esses autovalores serão as entradas da diagonal de D e os autovetores serão as colunas de P. Vou calcular o polinômio característico para achar os autovalores e em seguida os autovetores associados. Depois monto P, D e calculo P^{-1}. Não vamos pular etapas: explico cada fórmula e cada passo.
Passo 3
Polinômio característico: para achar os autovalores \lambda usamos \det(A - \lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2. Então
As duas equações são iguais; da primeira obtemos y=x. Podemos escolher x=1 (qualquer múltiplo serve), então um autovetor correspondente é
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Explicação rápida: autovetor é um vetor que ao ser multiplicado por A só é escalado pelo autovalor. Aqui A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, consistente com \lambda_{1}=1.]
Passo 6
Autovetor associado a \lambda_{2}=-1: resolvemos (A-(-1)I)\,v=0, isto é (A+I)\,v=0:
A + I = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Procuramos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} tal que
Verificação rápida: A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}, compatível com \lambda_{2}=-1.]
Passo 7
Montando P e D: por convenção colocamos como colunas de P os autovetores na mesma ordem das entradas de D. Vou escolher a ordem \lambda_{1}=1 primeiro e \lambda_{2}=-1 segundo. Assim