Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}
é diagonalizável.
  • Caso seja diagonalizável, determinar uma matriz P que a diagonalize e calcular P^{-1}AP.
Informações dadas:
  • A matriz A é a matriz 3\times3 mostrada acima.
  • Não há outras informações externas; tudo que precisamos vem da própria A.]

Passo 2

Calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I). Subtraindo \lambda da diagonal:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
Usando expansão por cofatores na primeira linha, o determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1-\lambda \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo as determinantes 2×2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-\lambda)-1\cdot 1
= -\lambda(1-\lambda)-1=\lambda^{2}-\lambda-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1-\lambda \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(1-\lambda)\cdot1=-(1-\lambda).
Substituindo de volta:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^{2}-\lambda-1)- (1-\lambda).
Fatorando 1-\lambda:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-\lambda-1-1\bigr) =(1-\lambda)(\lambda^{2}-\lambda-2).
E \lambda^{2}-\lambda-2 fatora como (\lambda-2)(\lambda+1). Logo
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1).]

Passo 3

Os autovalores são as raízes do polinômio característico:
\lambda=1,\qquad \lambda=2,\qquad \lambda=-1.
Todos são distintos (multiplicidade algébrica 1 cada). Uma matriz n\times n com n autovalores distintos tem n autovetores linearmente independentes, portanto é diagonalizável. (Resumo: autovalores distintos \Rightarrow autovetores linearmente independentes \Rightarrow matriz diagonalizável.)

Passo 4

Agora vou encontrar um autovetor para cada autovalor resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda=2:
A-2I=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^T, as equações são
-x+z=0,\qquad -y+z=0,\qquad x+y-2z=0.
Das duas primeiras vem z=x e z=y, logo x=y=z. Um autovetor é, por exemplo,
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
verificando A v_{2}=2 v_{2}.
Para \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1\end{pmatrix}.
As equações são
z=0,\qquad z=0,\qquad x+y-z=0.
Da primeira obtemos z=0. Então x+y=0, ou seja y=-x. Um autovetor correspondente é
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois A v_{1}=1\cdot v_{1}.
Para \lambda=-1:
A+I=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
As equações são
2x+z=0,\qquad 2y+z=0,\qquad x+y+z=0.
Das duas primeiras vem z=-2x e z=-2y, então x=y. Tomando x=y=1 resulta z=-2. Um autovetor é
v_{-1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},
pois A v_{-1}=-1\cdot v_{-1}.]

Passo 5

As três colunas v_{2},v_{1},v_{-1} são autovetores associados a autovalores distintos, portanto são linearmente independentes. Assim podemos formar a matriz P cujas colunas são esses autovetores; então P é invertível e diagonaliza A.
Escolho a ordem das colunas correspondente aos autovalores na sequência \,2,\,1,\,-1. Então tomo
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & -2 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é v_{2}, coluna 2 é v_{1} e coluna 3 é v_{-1}.]

Passo 6

Verificação direta (útil na prova): multiplicando A por cada coluna de P obtém-se o autovalor correspondente vezes a coluna:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Isto significa exatamente que
A P = P \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 1 & 0 \\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos a diagonalização:
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 1 & 0 \\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}.]

Resposta

P=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt]1 & -1 & 1 \\[4pt]1 & 0 & -2\end{pmatrix}
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt]0 & 1 & 0 \\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}]

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