Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação.
T: R^{3} \quad \longrightarrow \quad R^{2} (x, y, z) \longmapsto(x-y+z, 2 x+y-3 z)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{2},\qquad (x,y,z)\mapsto (x-y+z,\;2x+y-3z).
O que é pedido:
  • Mostrar que essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades que definem linearidade).
  • Encontrar a matriz que representa T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembrando a definição (do jeitinho didático): uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})
e
T(c\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).
Vou checar essas duas propriedades diretamente com componentes.

Passo 3

Verificação da aditividade T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).
Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T ao soma:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2)\bigr).
Reagrupando somas:
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl((x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2),\;(2x_1+y_1-3z_1)+(2x_2+y_2-3z_2)\bigr).
Isso é exatamente
T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).
Logo a aditividade vale.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(c\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).
Seja c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z). Então
c\mathbf{u}=(cx,\;cy,\;cz).
Aplicando T:
T(c\mathbf{u})=(cx-cy+cz,\;2cx+cy-3cz).
Fatorando c:
T(c\mathbf{u})=c\,(x-y+z,\;2x+y-3z)=c\,T(\mathbf{u}).
Portanto a homogeneidade vale.

Passo 5

Das propriedades acima segue que T é linear. (Como bônus rápido: aplicando a 0 temos T(0,0,0)=(0,0), que é compatível com linearidade.)

Passo 6

Agora vamos encontrar a matriz de T na base canônica. Método prático e padrão: calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3,
\mathbf{e}_1=(1,0,0),\qquad \mathbf{e}_2=(0,1,0),\qquad \mathbf{e}_3=(0,0,1),
e colocar essas imagens como colunas da matriz (em ordem \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3).

Passo 7

Calculando as imagens:
T(\mathbf{e}_1)=T(1,0,0)=(1-0+0,\;2\cdot1+0-0)=(1,\;2),
T(\mathbf{e}_2)=T(0,1,0)=(0-1+0,\;0+1-0)=(-1,\;1),
T(\mathbf{e}_3)=T(0,0,1)=(0-0+1,\;0+0-3)=(1,\;-3).

Passo 8

A matriz de T na base canônica é a matriz 2\times3 cujas colunas são as imagens acima:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação final: multiplicando A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} temos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z\\[4pt] 2\cdot x + 1\cdot y + (-3)\cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y+z\\[4pt] 2x+y-3z \end{pmatrix},
que coincide com T(x,y,z). Perfeito — a matriz está correta.]

Passo 10

Exemplo numérico rápido para fixar (só pra treinar): para (x,y,z)=(2,1,-1),
T(2,1,-1)=(2-1-1,\;2\cdot2+1-3(-1))=(0,\;4+1+3)=(0,\;8).
Usando a matriz:
A\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 8\end{pmatrix},
combina certinho. Vai dar certo na prova!

Resposta

Sim, T é linear.
\text{Matriz de }T\text{ (na base canônica)}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]2 & 1 & -3\end{pmatrix}ô]

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