Mostre que as aplicações são transformações lineares e encontre a matriz da transformação. T: R^{3} \quad \longrightarrow \quad R^{2} (x, y, z) \longmapsto(x-y+z, 2 x+y-3 z)
Mostrar que essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades que definem linearidade).
Encontrar a matriz que representa T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2.
Passo 2
Lembrando a definição (do jeitinho didático): uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem
Verificação final: multiplicando A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} temos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z\\[4pt] 2\cdot x + 1\cdot y + (-3)\cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y+z\\[4pt] 2x+y-3z \end{pmatrix},
que coincide com T(x,y,z). Perfeito — a matriz está correta.]
Passo 10
Exemplo numérico rápido para fixar (só pra treinar): para (x,y,z)=(2,1,-1),