Fatore cada uma das matrizes como um produto P D P^{-1}, onde D é diagonal.
(b) B=\left[\begin{array}{cc}5 & 6 \\\\ -2 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz B como um produto \,P D P^{-1}\,, onde D é uma matriz diagonal. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix}5 & 6\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz B é 2\times2.
  • Precisa-se encontrar uma matriz invertível P cujas colunas sejam autovetores de B e uma matriz diagonal D com os autovalores correspondentes, de modo que B=PDP^{-1}.]

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  • Autovalores \lambda são números tais que existe vetor não nulo v com Bv=\lambda v. Isso equivale a resolver
(B-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade.
  • Para encontrar \lambda calculamos o polinômio característico pela condição
\det(B-\lambda I)=0.
  • Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
  • Depois de obter os autovalores, para cada \lambda achamos um autovetor resolvendo o sistema linear (B-\lambda I)v=0.
  • Montamos P com colunas sendo autovetores correspondentes às entradas de D. A ordem das colunas de P deve corresponder à ordem dos autovalores na diagonal de D.
  • Se as colunas de P forem linearmente independentes, P é invertível e teremos a diagonalização B=PDP^{-1}.
  • Para inverter uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} usamos
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
desde que ad-bc\neq0.]

Passo 3

Calcular o polinômio característico e os autovalores.
B-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 6\\[4pt]-2 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Logo
\det(B-\lambda I)=(5-\lambda)(-2-\lambda)-6(-2).
Calculemos passo a passo:
(5-\lambda)(-2-\lambda)=\lambda^2-3\lambda-10
e
-6(-2)=12.
Somando:
\det(B-\lambda I)=\lambda^2-3\lambda-10+12=\lambda^2-3\lambda+2.
Resolvendo \lambda^2-3\lambda+2=0:
\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)=0.
Portanto os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=2.]

Passo 4

Encontrar autovetor associado a \lambda_1=1.
Resolvemos (B-I)v=0:
B-I=\begin{pmatrix}5-1 & 6\\[4pt]-2 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 6\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema para v=(x,y)^T:
4x+6y=0, \qquad -2x-3y=0.
As duas equações são múltiplas; usando a primeira:
4x+6y=0 \;\Longrightarrow\; 2x+3y=0 \;\Longrightarrow\; x=-\tfrac{3}{2}y.
Escolhemos um y conveniente para obter um vetor inteiro; se y=2 então x=-3. Assim um autovetor associado a \lambda_1=1 é
v_1=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar autovetor associado a \lambda_2=2.
Resolvemos (B-2I)v=0:
B-2I=\begin{pmatrix}5-2 & 6\\[4pt]-2 & -2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]-2 & -4\end{pmatrix}.
Sistema:
3x+6y=0, \qquad -2x-4y=0.
De novo as equações são múltiplas; usando a primeira:
3x+6y=0 \;\Longrightarrow\; x=-2y.
Escolhendo y=1 fica x=-2. Um autovetor associado a \lambda_2=2 é
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Construir P e D, verificar que P é invertível e calcular P^{-1}.
Montando P com colunas v_1 e v_2 na mesma ordem dos autovalores \lambda_1=1,\lambda_2=2:
P=\begin{pmatrix}-3 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Determinante de P:
\det P=(-3)\cdot 1 - (-2)\cdot 2 = -3 +4 =1\neq0,
logo P é invertível. Aplicando a fórmula da inversa para 2\times2:
P^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação direta (multiplicações com contas explícitas).
Primeiro calculemos PD:
PD=\begin{pmatrix}-3 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & -4\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}.
Agora multiplique PD por P^{-1}:
(PD)P^{-1}=\begin{pmatrix}-3 & -4\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix}.
Fazendo as entradas:
  • Primeira linha, primeira coluna: (-3)\cdot1+(-4)\cdot(-2)=-3+8=5.
  • Primeira linha, segunda coluna: (-3)\cdot2+(-4)\cdot(-3)=-6+12=6.
  • Segunda linha, primeira coluna: 2\cdot1+2\cdot(-2)=2-4=-2.
  • Segunda linha, segunda coluna: 2\cdot2+2\cdot(-3)=4-6=-2.
Resultado da multiplicação:
(PD)P^{-1}=\begin{pmatrix}5 & 6\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix}=B,
o que confirma a diagonalização encontrada.]

Resposta

B= P D P^{-1} \quad\text{com}\quad P=\begin{pmatrix}-3 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix}.]

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