Precisa-se encontrar uma matriz invertível P cujas colunas sejam autovetores de B e uma matriz diagonal D com os autovalores correspondentes, de modo que B=PDP^{-1}.]
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicadas passo a passo).
Autovalores \lambda são números tais que existe vetor não nulo v com Bv=\lambda v. Isso equivale a resolver
(B-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade.
Para encontrar \lambda calculamos o polinômio característico pela condição
\det(B-\lambda I)=0.
Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Depois de obter os autovalores, para cada \lambda achamos um autovetor resolvendo o sistema linear (B-\lambda I)v=0.
Montamos P com colunas sendo autovetores correspondentes às entradas de D. A ordem das colunas de P deve corresponder à ordem dos autovalores na diagonal de D.
Se as colunas de P forem linearmente independentes, P é invertível e teremos a diagonalização B=PDP^{-1}.
Para inverter uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} usamos
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
desde que ad-bc\neq0.]
Passo 3
Calcular o polinômio característico e os autovalores.
De novo as equações são múltiplas; usando a primeira:
3x+6y=0 \;\Longrightarrow\; x=-2y.
Escolhendo y=1 fica x=-2. Um autovetor associado a \lambda_2=2 é
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Construir P e D, verificar que P é invertível e calcular P^{-1}.
Montando P com colunas v_1 e v_2 na mesma ordem dos autovalores \lambda_1=1,\lambda_2=2: