Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P.
(d) A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
Resp. \left.P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 0
\end{array}\\right]\right)
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
Pede: verificar se A é diagonalizável; caso seja, determinar uma matriz P que diagonalize A e calcular P^{-1}AP.
Vou então checar diagonalizabilidade calculando os autovalores e autovetores, provar que existem 3 autovetores linearmente independentes e mostrar a diagonalização; por fim, vou obter explicitamente P^{-1}AP.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico e os autovalores (eigenvalues).
O polinômio característico é \det(A-\lambda I). Escrevendo a=1-\lambda e b=1-\lambda e c=-\lambda para ajudar, temos
Portanto os autovalores são \lambda=1,\\\ -1,\\\ 2. Como são três valores distintos (autovalores distintos), sabemos imediatamente que A é diagonalizável (teorema: matriz de ordem n com n autovalores distintos sobre o corpo é diagonalizável).]
Passo 3
Encontrar os autovetores (eigenspaces) correspondentes a cada autovalor, com cálculo explícito.
(Observação: o enunciado dá como terceira coluna de P o vetor (-1,1,0)^\top, que é -1 vezes este vetor; ambos representam a mesma direção de autovetor.)
\begin{cases} -z + x =0 \Rightarrow z=x,\\[4pt] -z + y =0 \Rightarrow z=y,\\[4pt] x+y-2z=0. \end{cases}
Das primeiras: x=y=z\]. Assim autovetores:
\[v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.\]
Escolho
\[v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\]
que é a primeira coluna proposta em \(P.]
Passo 4
Montar P com os autovetores como colunas e verificar AP=PD.
Tomando as colunas na ordem v_1,v_2,v_3 que escolhemos:
Isso mostra explicitamente que P diagonaliza A. Note que não é necessário calcular P^{-1} explicitamente para deduzir P^{-1}AP: basta usar que colunas de P são autovetores e os autovalores aparecem na diagonal de D na mesma ordem.]
Passo 5
Comentário sobre inversibilidade de P e independência linear.
Como os autovalores de A são distintos, os autovetores associados são linearmente independentes; portanto as colunas de P são linearmente independentes e P é invertível. Assim P^{-1}AP está bem definido e é a matriz diagonal D acima.