Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P.
(d) A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
Resp. \left.P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 0 \end{array}\\right]\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede: verificar se A é diagonalizável; caso seja, determinar uma matriz P que diagonalize A e calcular P^{-1}AP.
  • Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Observação útil (vinda do enunciado): a resposta sugerida para P é
P=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]1 & -2 & 0\end{pmatrix}.
Vou então checar diagonalizabilidade calculando os autovalores e autovetores, provar que existem 3 autovetores linearmente independentes e mostrar a diagonalização; por fim, vou obter explicitamente P^{-1}AP.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico e os autovalores (eigenvalues).
  • O polinômio característico é \det(A-\lambda I). Escrevendo a=1-\lambda e b=1-\lambda e c=-\lambda para ajudar, temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 1\\[4pt]0 & 1-\lambda & 1\\[4pt]1 & 1 & -\lambda\end{pmatrix}.
  • Calculo do determinante (expansão por primeira linha, mostrando cada termo):
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1-\lambda\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora os dois determinantes:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1=-\lambda(1-\lambda)-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1-\lambda\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(1-\lambda)\cdot1=-(1-\lambda).
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\big(-\lambda(1-\lambda)-1\big)- (1-\lambda).
Fator 1-\lambda:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\big(-\lambda(1-\lambda)-1-1\big)=(1-\lambda)\big(-\lambda(1-\lambda)-2\big).
Expandindo para simplificar:
\det(A-\lambda I)=-\lambda(1-\lambda)^2-2(1-\lambda).
Colocando em forma polinomial:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2.
Multiplicando por -1 para fatorar mais fácil:
\lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2=0.
Fatorando por agrupamento:
\lambda^2(\lambda-2)-1(\lambda-2)=(\lambda^2-1)(\lambda-2)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2).
  • Portanto os autovalores são \lambda=1,\\\ -1,\\\ 2. Como são três valores distintos (autovalores distintos), sabemos imediatamente que A é diagonalizável (teorema: matriz de ordem n com n autovalores distintos sobre o corpo é diagonalizável).]

Passo 3

Encontrar os autovetores (eigenspaces) correspondentes a cada autovalor, com cálculo explícito.
  1. Autovalor \lambda=1\). Resolver \((A-I)v=0\): \[A-I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]1 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Sistemas das equações:
\begin{cases} z=0,\\[4pt] z=0,\\[4pt] x+y-z=0. \end{cases}
Da primeira: z=0\]. Da terceira com \[z=0: x+y=0\Rightarrow y=-x. Assim os vetores são
v=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad x\neq 0.
Escolho o autovetor canônico
v_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
(Observação: o enunciado dá como terceira coluna de P o vetor (-1,1,0)^\top, que é -1 vezes este vetor; ambos representam a mesma direção de autovetor.)
  1. Autovalor \lambda=-1. Resolver (A+I)v=0:
A+I=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Equações:
\begin{cases} 2x+z=0 \Rightarrow z=-2x,\\[4pt] 2y+z=0 \Rightarrow z=-2y,\\[4pt] x+y+z=0. \end{cases}
Das duas primeiras: -2x=-2y \Rightarrow x=y\]. Com \[z=-2x. Então autovetores:
v=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Escolho
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
(Esse vetor é exatamente a segunda coluna da P dada.)
  1. Autovalor \lambda=2. Resolver (A-2I)v=0:
A-2I=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\[4pt]0 & -1 & 1\\[4pt]1 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Equações:
\begin{cases} -z + x =0 \Rightarrow z=x,\\[4pt] -z + y =0 \Rightarrow z=y,\\[4pt] x+y-2z=0. \end{cases}
Das primeiras: x=y=z\]. Assim autovetores: \[v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.\] Escolho \[v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\] que é a primeira coluna proposta em \(P.]

Passo 4

Montar P com os autovetores como colunas e verificar AP=PD.
Tomando as colunas na ordem v_1,v_2,v_3 que escolhemos:
P=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]1 & -2 & 0\end{pmatrix},
que coincide com a matriz P dada na resposta do enunciado.
Agora verificação direta de que cada coluna é autovetor:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix} =-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =1\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto AP=P D onde
D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]0 & -1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos
P^{-1}AP=D.
Isso mostra explicitamente que P diagonaliza A. Note que não é necessário calcular P^{-1} explicitamente para deduzir P^{-1}AP: basta usar que colunas de P são autovetores e os autovalores aparecem na diagonal de D na mesma ordem.]

Passo 5

Comentário sobre inversibilidade de P e independência linear.
  • Como os autovalores de A são distintos, os autovetores associados são linearmente independentes; portanto as colunas de P são linearmente independentes e P é invertível. Assim P^{-1}AP está bem definido e é a matriz diagonal D acima.

Resposta

P=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]1 & -2 & 0\end{pmatrix}
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]0 & -1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}

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