A temperatura em um volume de água é dada por
T(x, y, z)=20+x^{2}+y^{2}+z
no cilindro x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 5.
(a) Determine a temperatura média.
(b) Interprete o resultado fisicamente.

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura dentro do cilindro e pede duas coisas:
  • Dados: a temperatura é T(x,y,z)=20+x^{2}+y^{2}+z no domínio D definido por \;x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le z\le 5.
  • Pedidos:
    (a) Determinar a temperatura média no volume D.
    (b) Interpretar fisicamente o resultado.

Passo 2

Conceito usado (explicado devagar): a temperatura média em um volume D é a integral da temperatura sobre o volume dividida pelo volume total. Em fórmula:
\bar{T}=\frac{1}{\operatorname{Vol}(D)}\iiint_{D} T(x,y,z)\,dV.
Aqui \operatorname{Vol}(D) é o volume do cilindro e dV é o elemento de volume. A razão é simples: soma (integral) de todas as temperaturas pontuais, dividida pelo número de pontos (volume) — a analogia com média aritmética é direta.

Passo 3

Calcular o volume do cilindro (passo fácil e necessário):
o cilindro tem raio 1 e altura 5, logo
\operatorname{Vol}(D)=\pi r^{2} h=\pi\cdot 1^{2}\cdot 5=5\pi.

Passo 4

Montar a integral para \iiint_{D}T\,dV. Como a região é um cilindro circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas:
  • x=r\cos\theta,
  • y=r\sin\theta,
  • z=z,
  • elemento de volume dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
    Os limites são 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi, 0\le z\le 5.
    A função em cilíndricas: x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
T=20+r^{2}+z.
Assim a integral fica
\iiint_{D}T\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{5}\bigl(20+r^{2}+z\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separar a integral em três partes (linearidade das integrais). Escrever:
\iiint_{D}T\,dV =\iiint_{D}20\,dV+\iiint_{D}r^{2}\,dV+\iiint_{D}z\,dV.
Vou calcular cada termo separadamente, com passos claros.

Passo 6

Primeiro termo: \displaystyle\iiint_{D}20\,dV.
Como é constante, é 20 vezes o volume:
\iiint_{D}20\,dV=20\cdot\operatorname{Vol}(D)=20\cdot 5\pi=100\pi.
Explanação: integrar uma constante sobre um volume é multiplicar a constante pelo volume.

Passo 7

Segundo termo: \displaystyle\iiint_{D}r^{2}\,dV.
Em cilíndricas:
\iiint_{D}r^{2}\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{5} r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{5} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral em z primeiro (é independente de z): \int_{0}^{5}dz=5. Então
\iiint_{D}r^{2}\,dV=5\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1} r^{3}\,dr.
Calcular \int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\dfrac{1}{4}. E \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. Assim
\iiint_{D}r^{2}\,dV=5\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{4}=\frac{5\pi}{2}.
Comentário intuitivo: essa integral mede a contribuição média do termo quadrático radial ao total.

Passo 8

Terceiro termo: \displaystyle\iiint_{D}z\,dV.
Em cilíndricas:
\iiint_{D}z\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{5} z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta.
Separando integrais:
\iiint_{D}z\,dV=\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} r\,dr\right)\left(\int_{0}^{5} z\,dz\right).
Calcular cada uma:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_{0}^{1} r\,dr=\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{5} z\,dz=\frac{5^{2}}{2}=\frac{25}{2}.
Multiplicando:
\iiint_{D}z\,dV=2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{2}=\frac{25\pi}{2}.

Passo 9

Somar os três termos para obter a integral total:
\iiint_{D}T\,dV=100\pi+\frac{5\pi}{2}+\frac{25\pi}{2}=100\pi+\frac{30\pi}{2}=100\pi+15\pi=115\pi.

Passo 10

Calcular a temperatura média usando \bar{T}=\dfrac{1}{\operatorname{Vol}(D)}\iiint_{D}T\,dV:
\bar{T}=\frac{1}{5\pi}\cdot 115\pi=\frac{115}{5}=23.
Portanto a temperatura média no cilindro é \;23\; (unidades de temperatura do enunciado, por exemplo ^\circ\text{C}).

Passo 11

Checagem alternativa (explicação didática curta que ajuda na prova): pela linearidade, a média de T=20+x^{2}+y^{2}+z é
\bar{T}=20+\overline{x^{2}+y^{2}}+\overline{z}.
  • Para o disco de raio 1 a média de x^{2}+y^{2}=r^{2} vale \dfrac{1}{2} (fórmula direta ou cálculo \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}r\,dr\,d\theta=\tfrac{1}{2}).
  • Para z no intervalo [0,5] a média é \dfrac{0+5}{2}=2{,}5.
    Logo 20+\tfrac{1}{2}+2{,}5=23, confirma o resultado. Essa via é mais rápida em prova quando a função é soma de termos dependentes de variáveis separadas.

Passo 12

Interpretação física e incentivo (curta, clara e motivadora): o valor médio \bar{T}=23 é maior que 20 porque os termos x^{2}+y^{2} e z são não-negativos na região (soma de contribuições positivas). O termo x^{2}+y^{2} contribui com média 0{,}5 devido às posições mais afastadas do eixo, e o termo z contribui com 2{,}5 por conta do aumento linear com a altura. Em palavras simples: a água é mais quente nas partes altas e mais afastadas do eixo, e isso eleva a média global para 23. Vai dar certo na prova — a ideia chave é usar coordenadas adequadas e a linearidade das integrais.

Resposta

(a) \bar{T}=23 ^\circ\text{C}
(b) A média é maior que 20 porque x^{2}+y^{2} e z são não-negativos no cilindro; a contribuição média de x^{2}+y^{2} é 1/2 e de z é 2{,}5, somando a 20 para resultar em 23.

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