no cilindro x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 5.
(a) Determine a temperatura média.
(b) Interprete o resultado fisicamente.
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura dentro do cilindro e pede duas coisas:
Dados: a temperatura é T(x,y,z)=20+x^{2}+y^{2}+z no domínio D definido por \;x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le z\le 5.
Pedidos:
(a) Determinar a temperatura média no volume D.
(b) Interpretar fisicamente o resultado.
Passo 2
Conceito usado (explicado devagar): a temperatura média em um volume D é a integral da temperatura sobre o volume dividida pelo volume total. Em fórmula:
Aqui \operatorname{Vol}(D) é o volume do cilindro e dV é o elemento de volume. A razão é simples: soma (integral) de todas as temperaturas pontuais, dividida pelo número de pontos (volume) — a analogia com média aritmética é direta.
Passo 3
Calcular o volume do cilindro (passo fácil e necessário):
o cilindro tem raio 1 e altura 5, logo
Montar a integral para \iiint_{D}T\,dV. Como a região é um cilindro circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,
y=r\sin\theta,
z=z,
elemento de volume dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Os limites são 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi, 0\le z\le 5.
A função em cilíndricas: x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
Portanto a temperatura média no cilindro é \;23\; (unidades de temperatura do enunciado, por exemplo ^\circ\text{C}).
Passo 11
Checagem alternativa (explicação didática curta que ajuda na prova): pela linearidade, a média de T=20+x^{2}+y^{2}+z é
\bar{T}=20+\overline{x^{2}+y^{2}}+\overline{z}.
Para o disco de raio 1 a média de x^{2}+y^{2}=r^{2} vale \dfrac{1}{2} (fórmula direta ou cálculo \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}r\,dr\,d\theta=\tfrac{1}{2}).
Para z no intervalo [0,5] a média é \dfrac{0+5}{2}=2{,}5.
Logo 20+\tfrac{1}{2}+2{,}5=23, confirma o resultado. Essa via é mais rápida em prova quando a função é soma de termos dependentes de variáveis separadas.
Passo 12
Interpretação física e incentivo (curta, clara e motivadora): o valor médio \bar{T}=23 é maior que 20 porque os termos x^{2}+y^{2} e z são não-negativos na região (soma de contribuições positivas). O termo x^{2}+y^{2} contribui com média 0{,}5 devido às posições mais afastadas do eixo, e o termo z contribui com 2{,}5 por conta do aumento linear com a altura. Em palavras simples: a água é mais quente nas partes altas e mais afastadas do eixo, e isso eleva a média global para 23. Vai dar certo na prova — a ideia chave é usar coordenadas adequadas e a linearidade das integrais.
Resposta
(a) \bar{T}=23^\circ\text{C}
(b) A média é maior que 20 porque x^{2}+y^{2} e z são não-negativos no cilindro; a contribuição média de x^{2}+y^{2} é 1/2 e de z é 2{,}5, somando a 20 para resultar em 23.