Fatore: x^{2}+5 x+6

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio \,x^{2}+5x+6\,.
Informações dadas: o polinômio é quadrático e monico (o coeficiente de x^{2} é 1). O objetivo é escrever esse polinômio como um produto de fatores lineares (quando possível).

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada passo a passo): se um polinômio quadrático monico pode ser escrito como produto de dois binômios, então deve existir números r e s tais que
(x+r)(x+s)=x^{2}+(r+s)x+rs.
Portanto, para obter x^{2}+5x+6 precisamos encontrar r e s que satisfaçam simultaneamente
r+s=5 \qquad\text{e}\qquad r\cdot s=6.
Em palavras: dois números cuja soma é 5 e cujo produto é 6.

Passo 3

Liste os pares de inteiros cujo produto é 6 (os candidatos mais simples a testar):
  • 1 e 6: produto 1\cdot6=6, soma 1+6=7.
  • 2 e 3: produto 2\cdot3=6, soma 2+3=5.
  • Também existem os pares negativos -1 e -6 (soma -7) e -2 e -3 (soma -5), mas como queremos soma +5, descartamos os negativos.
Dos pares acima, o que tem soma 5 é 2 e 3.

Passo 4

Com r=2 e s=3 podemos fazer a fatoração pelo método de agrupamento (dividindo o termo do meio):
x^{2}+5x+6 = x^{2}+2x+3x+6.
Agora agrupamos em dois blocos:
x^{2}+2x+3x+6 = x(x+2)+3(x+2).
Fator comum x+2:
x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3).

Passo 5

Verificação rápida (multiplicando os fatores para checar):
(x+2)(x+3)=x^{2}+3x+2x+6=x^{2}+5x+6,
que coincide com o polinômio original. Boa!

Resposta

(x+2)(x+3)

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