Fatore e encontre as raízes.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio f(x)=x³−7x²−109x−110 e encontrar suas raízes reais. O conteúdo envolve: (1) Teorema das raízes racionais para testar possíveis raízes inteiras; (2) Teorema de Bolzano para localizar intervalos com mudança de sinal; (3) Método da bisseção (ou similar) para refinar as raízes numéricas.
Passo 2
Pela racional root test, as únicas candidatas são os divisores de −110: ±1,±2,±5,±10,±11,±22,±55,±110. Avaliando f(x) nesses valores vemos que f§≠0 para todos, logo não há raízes racionais.
Passo 3
Como não há raízes racionais, usamos o Teorema de Bolzano para achar intervalos onde f muda de sinal e, portanto, tem uma raiz real:
– Entre x=−7 (f(−7)≈−33) e x=−6 (f(−6)≈+76) há uma raiz perto de −6.7.
– Entre x=−2 (f(−2)≈+72) e x=−1 (f(−1)≈−9) há uma raiz perto de −1.1.
– Entre x=10 (f(10)≈−900) e x=15 (f(15)≈+55) há uma raiz perto de +14.8.
– Entre x=−7 (f(−7)≈−33) e x=−6 (f(−6)≈+76) há uma raiz perto de −6.7.
– Entre x=−2 (f(−2)≈+72) e x=−1 (f(−1)≈−9) há uma raiz perto de −1.1.
– Entre x=10 (f(10)≈−900) e x=15 (f(15)≈+55) há uma raiz perto de +14.8.
Passo 4
Refinando cada raiz por bisseção (ou Newton) até precisão de 10⁻³, obtemos:
– x₁≈−6.744
– x₂≈−1.099
– x₃≈+14.842
– x₁≈−6.744
– x₂≈−1.099
– x₃≈+14.842
Passo 5
Com essas raízes, escrevemos o fatoramento sobre ℝ: