lim x 1 raiz[3]x cdot sen(x^2-1)x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 1 raiz[3]x cdot sin(x^2-1)x-1. Esse exercício está no conteúdo de cálculo de limites, especificamente lidando com funções que envolvem raízes e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos indeterminações como 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
raiz[3]1 cdot sin(1^2-1)1-1 = 1 cdot sin(0)0 = 00
Essa forma 00 é uma indeterminação, o que significa que precisamos usar uma estratégia diferente para encontrar o limite. É aqui que a regra de L’Hôpital entra em cena.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite que resulta em 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função.
Primeiro, vamos derivar o numerador raiz[3]x cdot sin(x^2-1). Para isso, usamos a regra do produto:
ddx ( raiz[3]x cdot sin(x^2-1) ) = ddx (raiz[3]x) cdot sin(x^2-1) + raiz[3]x cdot ddx (sin(x^2-1))
Calculando as derivadas:
ddx (raiz[3]x) = 13x^-2/3
ddx (sin(x^2-1)) = cos(x^2-1) cdot 2x
Então, a derivada do numerador fica:
13x^-2/3 cdot sin(x^2-1) + raiz[3]x cdot cos(x^2-1) cdot 2x
Agora, a derivada do denominador x - 1 é simplesmente:
ddx (x - 1) = 1

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, temos que o limite original é igual ao limite das derivadas:
limx 1 13x^-2/3 cdot sin(x^2-1) + raiz[3]x cdot cos(x^2-1) cdot 2x1
Agora, vamos substituir x = 1 nessa nova expressão:
13(1)^-2/3 cdot sin(1^2-1) + raiz[3]1 cdot cos(1^2-1) cdot 2 cdot 1
Simplificando:
13 cdot 1 cdot sin(0) + 1 cdot cos(0) cdot 2 = 0 + 1 cdot 1 cdot 2 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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