Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está no conteúdo de cálculo de limites, especificamente lidando com funções que envolvem raízes e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos indeterminações como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Essa forma
é uma indeterminação, o que significa que precisamos usar uma estratégia diferente para encontrar o limite. É aqui que a regra de L’Hôpital entra em cena.
Passo 3
A regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite que resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função.
Primeiro, vamos derivar o numerador
. Para isso, usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então, a derivada do numerador fica:
Agora, a derivada do denominador
é simplesmente:
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, temos que o limite original é igual ao limite das derivadas:
Agora, vamos substituir
nessa nova expressão:
Simplificando:
Resposta
O limite é igual a 2.