4^ a Questão Calcule os limites abaixo. Use a regra L’Hôspital, quando necessário, indicando qual o tipo da ideterminação:
lim x infty x e^-x

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Calcular o limite limxtoinfty x e^-x. Vamos usar limites envolvendo indeterminações e a regra de L’Hôpital para resolvê-lo.

Passo 2

Identificação da indeterminação: Quando xtoinfty, temos xtoinfty e e^-xto0, então x,e^-x é do tipo inftycdot0. Para aplicar L’Hôpital é mais prático reescrever como fração.
Reescrevendo em forma de razão:
x e^-x = xe^x

Passo 3

Agora, ao calcular xtoinfty, numerador e denominador vão para infinito, gerando a indeterminação inftyinfty. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador separadamente:
limxtoinftyxe^x = limxtoinfty1e^x
Como e^x cresce sem limite quando xtoinfty, o quociente 1/e^x tende a zero.
Conclusão: o limite original limxtoinfty x e^-x é igual a 0.

Resposta

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