Com relação as funçẽs abaixo, responda:
A função é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

A função é dada por f(x,y)=x^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e precisamos verificar se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0).

Passo 2

Para ser contínua em (0,0), deve valer lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0). Aqui f(0,0)=0, então vamos calcular esse limite.
Para (x,y)neq(0,0), temos
|f(x,y)|=|x^2yx^2+y^2|=x^2,|y|x^2+y^2<=x^2,|y|x^2=|y|
porque x^2+y^2>= x^2. Como (x,y)to(0,0) implica |y|to0, segue que |f(x,y)|to0.
Logo,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)

Resposta

Sim, a função é contínua em (0,0) pois lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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